Reguła mnożenia

Twierdzenie o mnożeniu (reguła mnożenia), twierdzenie dotyczące zbiorów mówiące, że jeżeli zbiór $A$ ma $m$ elementów, a zbiór $B$ ma $n$ elementów, to liczba różnych par $(x, y)$ takich, że $x\in A$ i $y\in B$ równa jest $m \cdot n$.

Regułę tę można sformułować bardziej ogólnie.
Jeśli pewien wybór polega na podjęciu $n$ decyzji, przy czym pierwszą decyzję można podjąć na $k_1$ sposobów, drugą - na $k_2$ sposobów, ..., $n$-tą - na $k_n$ sposobów, to takiego wyboru można dokonać na $ k_1 \cdot k_2 \cdot \ldots \cdot k_n$ sposobów.

Ile różnych wyników można otrzymać przy rzucie monetą i kostką?

Rozwiązanie
Zwróćmy uwagę, że wynik tego doświadczenia zapisujemy jako uporządkowana para, gdzie pierwszy wynik pochodzi z rzutu monetą, a drugi z rzutu kostką.
Możliwe wyniki rzutu monetą: $A = \{O, R\}$
Możliwe wyniki rzutu kostką: $B = \{1,2,3,4,5,6\}$
Zbiór $A$ liczy $2$ elementy, a zbiór $B$ liczy $6$ elementów.
Zgodni z regułą mnożenia wyników tego doświadczenia jest: $2 \cdot 6 = 12$.

Poniżej wszystkie pary możliwych wyników.
$(O, 1), (O, 2), (O, 3),(O, 4), (O, 5), (O, 6)$
$(R, 1), (R, 2), (R, 3),(R, 4), (R, 5), (R, 6)$

Ilustracja graficzna do przykładu.

Pewien kod składa się z jednej litery alfabetu łacińskiego i następującej po niej cyfry. Ile różnych kodów można utworzyć, jeżeli w każdym będzie występowała jedna z 26 liter alfabetu i jedna z dziesięciu cyfr?

Rozwiązanie
W tej sytuacji, jak opisana w przykładzie, zamiast wypisywać wszystkie możliwe pary tworzące kod i je zliczać, warto skorzystać z reguły mnożenia, która mówi, że jeśli zbiór $A$ ma $m$ elementów, a zbiór $B$ ma $n$ elementów, to liczba różnych par $(x,y)$ takich, że $x \in A$ oraz $b \in B$ jest równa $m \cdot n$.

Zbiór pierwszy zawiera $26$ liter, zbiór drugi zawiera $10$ cyfr. Liczba wszystkich rożnych par tworzących kod równa jest $26 \cdot 10 = 260$.

Możemy utworzyć $260$ różnych kodów składających się z jednej litery i jednej cyfry.

Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych?

Rozwiązanie
Liczba trzycyfrowa, to liczba złożona z trzech cyfr: cyfry jedności, dziesiątek i setek. W treści zadania mamy założenie, że mają to być liczby parzyste. Cyfrą jedności w liczbie parzystej mogą być wyłącznie cyfry: $0, 2, 4, 6, 8$, cyfrą dziesiątek może być dowolna z dziesięciu cyfr, ale zwróćmy uwagę, że cyfrą setek jakiejkolwiek liczby trzycyfrowej nie może być cyfra 0, bo w ten sposób nie konstruujemy liczb naturalnych.

Cyfrę jedności możemy umieścić w takiej liczbie na 5 sposobów (cyfry $0, 2, 4, 6, 8$), cyfrę dziesiątek - na $10$ sposobów (wszystkie cyfry), a cyfrę setek - na $9$ sposobów (wszystkie cyfry z wyjątkiem $0$).

Korzystając z reguły mnożenia, otrzymujemy $5 \cdot 10 \cdot 9 = 450$ liczb spełniających warunki zadania.