Usuwanie niewymierności z mianownika

Ułamek, w którym mianownik jest liczbą niewymierną, wygodnie jest przekształcić tak, aby w mianowniku znalazła się liczba wymierna, najlepiej całkowita dodatnia. Takie przekształcenie nazywamy usuwaniem niewymierności z mianownika. Należy pamiętać o tym, że przekształcenie to nie zmienia wartości liczby, dalej jest to ta sama liczba, ale zapisana inaczej.

Aby usunąć niewymierność z mianownika, należy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez taki czynnik, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną różną od zera.

Przykłady
$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$        (zauważ, że $1 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$)
W powyższym przykładzie w mianowniku znajduje się liczba niewymierna $\sqrt{3}$. Aby pozbyć się niewymierności, mnożymy licznik i mianownik przez taką samą liczbę niewymierną, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną. W naszym przypadku mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{3}$. W wyniku takiego mnożenia, które nie zmienia wartości naszej liczby, otrzymujemy w mianowniku liczbę wymierną $3$.

$\frac{3}{2\sqrt{5}} = \frac{3}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$
$\frac{2\sqrt{3} + 1}{4\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} + 1}{4\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{6 + \sqrt{3}}{12}$
$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Jeżeli w mianowniku mamy sumę lub różnicę, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

Przykłady
$\frac{2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{(1 - 3)} = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{( - 2)} = - 1 + \sqrt{3}$
$\frac{1}{\sqrt{3} - 3} = \frac{1}{\sqrt{3} - 3} \cdot \frac{\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3} + 3} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} + 3)}{(\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} + 3)} = \frac{\sqrt{3} + 3}{(3 - 9)} = \frac{\sqrt{3} + 3}{- 6}$
$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3} )^2}{1 - 3} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{- 2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{- 2} = - 2 - \sqrt{3}$

W przypadku, gdy w mianowniku mamy do czynienia z sumą trzech lub więcej liczb niewymiernych, wygodnie jest dokonać pewnego podstawienia i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia jak wyżej.

Przykład
$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$

Dla uproszczenia rachunków podstawiamy $m = \sqrt{2} + \sqrt{3}$.

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{1}{m + \sqrt{5}} = \frac{1}{m + \sqrt{5}} \cdot \frac{m - \sqrt{5}}{m - \sqrt{5}} = \frac{m - \sqrt{5}}{m^2 - 5}$

W miejsce $m$ wstawiamy teraz z powrotem $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ i kontynuujemy obliczenia.

$\frac{m - \sqrt{5}}{m^2 - 5} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3} )^2 - 5} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2 + 2\sqrt{6} + 3 - 5} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30}}{12} = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{12}$