Wzajemne położenie dwóch prostych (proste prostopadłe, równoległe)

Wzajemne położenie dwóch prostych

Dwie proste na płaszczyźnie mogą się przecinać tylko w jednym punkcie lub wcale się nie przecinać. W przypadku, gdy proste nie przecinają się, to są równoległe lub pokrywają się. Szczególnym przypadkiem dwóch prostych przecinających się jest przypadek prostopadłości tych prostych.

Dla prostych k, l danych równaniami
k: A₁x + B₁y + C₁ = 0,
l: A₂x + B₂y + C₂ = 0,
niech
$W = | \begin{matrix} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{matrix} | = A_{1} \cdot B_{2} - A_{2} \cdot B_{1}$
$W_{x} = | \begin{matrix} B_{1} & C_{1} \\ B_{2} & C_{2} \end{matrix} | = B_{1} \cdot C_{2} - B_{2} \cdot C_{1}$
$W_{y} = | \begin{matrix} C_{1} & A_{1} \\ C_{2} & A_{2} \end{matrix} | = C_{1} \cdot A_{2} - C_{2} \cdot A_{1}$

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by proste k i l przecinały się, jest, by W ≠ 0 (układ oznaczony). Punkt przecięcia się prostych k i l ma współrzędne $(\frac{W_{x}}{W}, \frac{W_{y}}{W})$ .

Jeśli W = 0, oraz W_x ≠ 0, to zachodzi także W_y ≠ 0 i proste k, l są równoległe.

Jeśli W = W_x = 0, to również W_y = 0 i proste k i l pokrywają się (układ nieoznaczony).
Współczynniki prostych spełniają wówczas zależność:
$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}$

Warunek równoległości prostych

k: A₁x + B₁y + C₁ = 0, l: A₂x + B₂y + C₂ = 0

k || l ⇔ A₁B₂ - A₂B₁ = 0

k: y = m₁x + k₁, l: y = m₂x + k₂

k || l ⇔ m₁ = m₂

Warunek prostopadłości prostych

k: A₁x + B₁y + C₁ = 0, l: A₂x + B₂y + C₂ = 0

k ⊥ l ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ = 0

k: y = m₁x + k₁, l: y = m₂x + k₂

$k ⊥ l \Leftrightarrow m_{1} = - \frac{1}{m_{2}}$