Wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia przydatne są podczas przekształceń wyrażeń algebraicznych, często ułatwiają rachunki. Czasem są bardziej przydatne, gdy stosujemy je "w drugą stronę", aby z pewnego wyrażenia otrzymać np. kwadrat sumy. Mają zastosowanie przy rozwiązywaniu równań, znajdowaniu pierwiastków wielomianu, czy przy przekształcaniu wzorów. Wzorów skróconego mnożenia jest bardzo dużo, ale wystarczy znać kilka podstawowych, z których korzysta się najczęściej.
Kwadrat sumy i kwadrat różnicy
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Kwadrat sumy albo różnicy można obliczyć mnożąc przez siebie dwumiany, ale znając je jesteśmy w stanie niektóre obliczenia wykonać w pamięci i
wynik podać od razu.
Czasem zachodzi potrzeba zamiany powrotnej, wówczas wyrażenie postaci $a^2 + 2ab + b^2$ możemy od razu zapisać w postaci kwadratu sumy.
Ogólnie wyrażenie postaci $ax^2 +bxy + cy^2$ można zamienić na kwadrat, jeśli $c \ge 0$ i $b = \pm 2\sqrt{c}$.
Jeśli $c$ jest dodatnie i $b$ równe jest podanej wartości, to zamiana jest możliwa i możemy zapisać
$ax^2 +bxy + cy^2 = (x+\sqrt{c}y)^2$ lub $ax^2 - bxy + cy^2 = (x-\sqrt{c}y)^2$.
Należy zwrócić uwagę, że kolejność składników w wyrażeniu nie musi być zawsze uporządkowana tak jak powyżej,
trzeba czasem dokonać zamiany składników, by zauważyć że taka zamiana powrotna do kwadratu sumy lub różnicy jest możliwa.
Trening czyni mistrza, wykonując proste przykłady, nabywamy umiejętności w przekształcaniu wyrażeń.
Przykład zamiany powrotnej wyrażenia $x^2 - 10xy + 25y^2$
Warunki $c \ge 0$ i $b = \pm 2\sqrt{c}$ są spełnione, bo $-10 = -2 \cdot \sqrt{25}$
Zatem wyrażenie to możemy przedstawić w postaci kwadratu różnicy: $(x-5y)^2$.
Różnica kwadratów
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
Różnicę kwadratów można zamienić na iloczyn sumy i różnicy lub odwrotnie w wyniku iloczynu sumy i różnicy dwóch wyrazów, po redukcji,
otrzymujemy różnicę kwadratów tych wyrażeń. Wzór ten przydatny jest podczas przekształceń wyrażeń wymiernych,
podczas usuwania niewymierności z mianowników, czy przy rozwiązywaniu równań wielomianowych.
Wzór ten możemy przekształcić do postaci $a - b = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ i w miarę potrzeb stosować, pamiętając, że
pod pierwiastkami muszą znajdować się liczby nieujemne.
Przykład
$x^2-3 = (x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$
A co w przypadku sumy kwadratów $a^2 + b^2$? Dla sumy kwadratów nie istnieje postać iloczynowa dwóch czynników, a więc i nie ma dla niej wzoru skróconego mnożenia. Ale jeśli dodamy i odejmiemy $2ab$, to otrzymamy wyrażenie równoważne $a^2 + b^2 + 2ab - 2ab$, z którego możemy zrobić kwadrat sumy lub różnicy, w zależności od potrzeb.
Przykład
$x^2 + 4y^2 = x^2 + 4y^2 - 4xy + 4xy = (x^2 - 4xy + 4y^2) + 4xy = (x - 2y)^2 + 4xy$
Sześcian sumy i sześcian różnicy
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Suma sześcianów i różnica sześcianów
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Dla wyższych potęg wzory stają się coraz bardziej skomplikowane i trudne do zapamiętania. Można wyprowadzić je ze wzorów ogólnych.
Dla liczb rzeczywistych $a$ i $b$ oraz liczby naturalnej $n$ zachodzi:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} a^{n-k}b^k$
$(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k{n\choose k} a^{n-k}b^k$
$a^n-b^n=(a-b) \cdot \sum_{k=1}^{n} {a^{n-k}b^{k-1}}$
$a^n+(-1)^{n+1}b^n=(a+b)\cdot \sum_{k=1}^{n} {a^{n-k}(-1)^{k-1}b^{k-1}}$
$n$-tą potęgę sumy(różnicy) dwóch wyrazów możemy wyznaczyć za pomocą trójkąta Pascala.
| $(a \pm b)^0 = 1$ | $$1$$ |
| $(a \pm b)^1 = a \pm b$ | $$1 1$$ |
| $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ | $$1 2 1$$ |
| $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$ | $$1 3 3 1$$ |
| $(a \pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4$ | $$1 4 6 4 1$$ |
Suma $n$-tych potęg $$a^n + b^n = (a \pm b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \ldots + a^2b^{n-3} - ab^{n-2} + b^{n-1})$$
Różnica $n$-tych potęg: $$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1})$$
Podstawowe wzory skróconego mnożenia
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ - kwadrat sumy
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ - kwadrat różnicy
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ -różnica kwadratów
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ - sześcian sumy
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ - sześcian różnicy
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ - suma sześcianów
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ - różnica sześcianów
$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ - kwadrat sumy trzech wyrazów