Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1125

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
lazy2394 postów: 50	2011-12-08 21:58:42 1.Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n^5-n jest podzielna przez 30. 2.Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p^2-1 jest liczbą podzielną przez 24. 3.Wykaż, że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 5n również ma tę własność

irena postów: 2636	2011-12-08 22:06:35 1. $n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ n(n-1)(n+1) to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jest co najmniej jedna parzysta i jedna podzielna przez 3. Iloczyn tych liczb jest więc podzielny przez 6. Jeśli jedna z liczb: n, (n-1), (n+1) jest podzielna przez 5, to iloczyn tych liczb dzieli się przez $6\cdot5=30$ Jeśli żadna z liczb: n, (n-1), (n+1) nie dzieli się przez 5, to znaczy, że liczba n daje w dzieleniu przez 5 resztę równą 2 lub resztę równą 3. Wtedy liczba $n^2+1$ dzieli się przez 5, bo: - jeśli $n=5k+2$ to $n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)$ - jeśli $n=5k+3$, to $n^2+1=(5k+3)^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+15k+2)$ Iloczyn liczb $n(n-1)(n+1)(n^2+1)=n^5-n$ dzielić się musi przez 5. cbdo

irena postów: 2636	2011-12-08 22:12:09 2. p to liczba pierwsza większa od 3. Jest więc na pewno liczbą nieparzystą. $p^2-1=(p-1)(p+1)$ Liczby (p-1) i (p+1) muszą być liczbami parzystymi (bo p jest nieparzyste). Są to dwie kolejne liczby parzyste. Jedna z nich dzielić się więc musi przez 4. Iloczyn takich liczb (dwóch kolejnych parzystych) dzieli się przez 8. Liczby: (p-1), p, (p+1) to trzy kolejne liczby naturalne. Wśród nich musi być liczba podzielna przez 3. Ponieważ p jest większe od trzech i jest to liczba pierwsza (więc nie dzieli się przez 3), więc jedna z liczb: (p-1) lub (p+1) dzielić się musi przez 3. Zatem: $(p-1)(p+1)=p^2-1$ dzieli się na pewno przez $8\cdot3=24$ cbdo

irena postów: 2636	2011-12-08 22:18:03 3. $n=a^2+b^2$ $5n=5a^2+5b^2=4a^2+b^2+a^2+4b^2=(2a+b)^2+(a-2b)^2$

sewar postów: 1	2012-10-19 20:52:53 Mam pytanie do 1-szego: jeśli żadna z liczb: n, (n-1), (n+1) nie dzieli się przez 5, to dlaczego liczba n daje w dzieleniu przez 5 resztę równą 2 lub resztę równą 3?

irena postów: 2636	2012-10-20 07:26:33 Możliwe reszty w dzieleniu przez 5 to: 0, 1, 2, 3, lub 4. Liczba n nie daje w tym dzieleniu reszty 0, bo nie jest podzielna przez 5. Liczba n nie daje też reszty 1, bo wtedy liczba (n-1) dawałaby resztę 0, czyli byłaby podzielna przez 5. Liczba n nie daje też w tym dzieleniu reszty 4, bo wtedy liczba (n+1) byłaby podzielna przez 5. Zostają więc do rozpatrzenia przypadki omówione w rozwiązaniu, czyli- reszty 2 oraz 3. Mam nadzieję, że rozwiałam wątpliwości...

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj