Indukcja matematyczna, zadanie nr 1130
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
yeti_007 postów: 19 | 2011-12-10 20:33:43 Dany jest następujący ciąg rekurencyjny: $\left\{\begin{matrix} c_1=1 \\ c_{i+1}=c_i+(i+1)^2, dla 'i'>0 \end{matrix}\right. $ Udowonij korzystając z zasady indukcji matematycznej, że prawdziwy jest wzór jawny dla tego ciągu dany jako $c_n= \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$ dla wszystkich liczb naturalnych $n\ge 1$ |
yeti_007 postów: 19 | 2011-12-11 16:53:17 pomoże ktoś przy tym zadaniu? |
irena postów: 2636 | 2011-12-11 17:30:13 $c_1=1$ $c_2=1+2^2$ $c_3=1+2^2+3^2$. . . $c_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2$ n=1 $c_1=\frac{1}{6}\cdot1\cdot(1+1)\cdot(2+1)=\frac{1}{6}\cdot1\cdot2\cdot3=1$ Z. $c_k=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$ T. $c_{k+1}=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)$ D. $L=c_{k+1}=1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2=\frac{1}{6}(k+1)\cdot[k(2k+1)+6(k+1)]=$ $=\frac{1}{6}(k+1)[2k^2+k+6k+6]=\frac{1}{6}(k+1)[2k^2+4k+3k+6]=$ $=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)=P$ cnd. |
yeti_007 postów: 19 | 2011-12-11 17:48:23 bardzo dziękuję :)) |
yeti_007 postów: 19 | 2011-12-11 17:55:40 $c_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2$ to ciąg geometryczny o wzorze $a_n = (n+1)^2 $ ?? |
Szymon postów: 657 | 2011-12-11 18:04:46 yeti_007 Nie , bo: $\frac{2^2}{1} \neq \frac{3^2}{2^2} \neq \frac{4^2}{3^2} \neq....\neq \frac{(n+1)^2}{n^2} $ |
yeti_007 postów: 19 | 2011-12-11 18:26:18 zatem jak mam uzasadnić to $c_1, c_2, ... $ itd. na początku, bo w indukcji trzeba niemalże wszystko opisywać ;/ |
irena postów: 2636 | 2011-12-11 19:16:59 Ze wzoru rekurencyjnego - opisałam: $c_1=1$ $c_2=c_1+2^2=1+2^2$ $c_3=c_2+3^2=1+2^2+3^2$ . . . $c_n=c_{n-1}+n^2=1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2+n^2$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj