logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Indukcja matematyczna, zadanie nr 1130

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

yeti_007
postów: 19
2011-12-10 20:33:43

Dany jest następujący ciąg rekurencyjny:
$\left\{\begin{matrix} c_1=1 \\ c_{i+1}=c_i+(i+1)^2, dla 'i'>0 \end{matrix}\right. $

Udowonij korzystając z zasady indukcji matematycznej, że prawdziwy jest wzór jawny dla tego ciągu dany jako
$c_n= \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$

dla wszystkich liczb naturalnych $n\ge 1$


yeti_007
postów: 19
2011-12-11 16:53:17

pomoże ktoś przy tym zadaniu?


irena
postów: 2636
2011-12-11 17:30:13

$c_1=1$
$c_2=1+2^2$
$c_3=1+2^2+3^2$.
.
.
$c_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2$

n=1
$c_1=\frac{1}{6}\cdot1\cdot(1+1)\cdot(2+1)=\frac{1}{6}\cdot1\cdot2\cdot3=1$

Z.
$c_k=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$

T.
$c_{k+1}=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)$

D.
$L=c_{k+1}=1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2=\frac{1}{6}(k+1)\cdot[k(2k+1)+6(k+1)]=$

$=\frac{1}{6}(k+1)[2k^2+k+6k+6]=\frac{1}{6}(k+1)[2k^2+4k+3k+6]=$

$=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)=P$
cnd.


yeti_007
postów: 19
2011-12-11 17:48:23

bardzo dziękuję :))


yeti_007
postów: 19
2011-12-11 17:55:40

$c_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2$ to ciąg geometryczny o wzorze $a_n = (n+1)^2 $ ??


Szymon
postów: 657
2011-12-11 18:04:46

yeti_007

Nie , bo:

$\frac{2^2}{1} \neq \frac{3^2}{2^2} \neq \frac{4^2}{3^2} \neq....\neq \frac{(n+1)^2}{n^2} $


yeti_007
postów: 19
2011-12-11 18:26:18

zatem jak mam uzasadnić to $c_1, c_2, ... $ itd. na początku, bo w indukcji trzeba niemalże wszystko opisywać ;/


irena
postów: 2636
2011-12-11 19:16:59

Ze wzoru rekurencyjnego - opisałam:
$c_1=1$
$c_2=c_1+2^2=1+2^2$
$c_3=c_2+3^2=1+2^2+3^2$
.
.
.
$c_n=c_{n-1}+n^2=1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2+n^2$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj