Inne, zadanie nr 115
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| aanniiaa postów: 1 |  2010-06-11 22:14:39Reszta z dzielenia wielomianu W(x)= 3x^{3}+(a^{2}+3)x^{2} -ax - a^{3} przez dwumian (x+1) wynosi -2. Oblicz wartość parametru a. Dla znalezionej wartości parametru wyznacz pierwiastki wielomianu W(x). ( znak taki : ^{2} oznacza do potegi 2 , a znak ^{3} znaczy że do potegi 3) |
| zorro postów: 106 | 2010-06-14 05:01:46 Jeśli wiesz jak się dzieli wielomiany to możesz od razu znaleźć postać reszty $R=-a^{3}+a^{2}+a=-2$ czyli $a^{3}-a^{2}-a-2=0$ Jeśli nie, to zauważ, że wielomian W(x) dzieli się z resztą -2 gdy: $W(x)=Q(x)(x+1)-2$ gdzie Q(x) będzie drugiego stopnia zatem: $3x^{3}+(a^{2}+3)x^{2}-ax-a^{3}=(Ax^{2}+Bx+c)(x+1)-2$ $3x^{3}+(a^{2}+3)x^{2}-ax-a^{3}=Ax^{3}+(A+B)x^{2}+(B+C)x+C-2$ Przyrównując współczynniki przy odpowiednich potęgach mamy: $A=3$ $A+B=3+B=a^{2}+3 \Rightarrow B=a^{2}$ $B+C=a^{2}+C=-a \Rightarrow C=-a^{2}-a$ $C-2=-a^{3} \iff -a^{2}-a-2=-a^{3} \iff a^{3}-a^{2}-a-2=0$ co jest naszym równaniem reszty Gdy a=2 to lewa strona =0, więc 2 jest pierwiastkiem wielomianu po lewej. Dzieląc $a^{3}-a^{2}-a-2$ przez (a-2) mamy $a^{3}-a^{2}-a-2=(a-2)(a^{2}+a+1)=0$ Drugi czynnik jest zawsze dodatni (brak pierwiastków) więc jedynym rozwiązaniem jest a=2. Wstawiamy teraz a=2 do równania W(x)=0 aby znaleźć pierwiastki. $W(x)=3x^{3}+(2^{2}+3)x^{2}-2x-2^{3}=0$ $3x^{3}+7x^{2}-2x-8=0$ Szukamy pierwszego rozwiązania wśród podzielników wyrazu wolnego {1,-1,2,-2,4-4,8,-8}. Od razu widać, że dla x=1 mamy 3+7-2-8=0. 1 Jest pierwiastkiem. Dzielimy teraz wielomian W(x) przez (x-1). $W(x)=(x-1)(3x^{2}+10x+8)=0$ $\Delta=100-4\cdot3\cdot8=4$ $\sqrt{\Delta}=2$ $x_{1}=\frac{-10-2}{6}=-2$ $x_{2}=\frac{-10+2}{6}=-\frac{4}{3}$ czyli $W(x)=3(x+2)(x+\frac{4}{3})(x-1)=0$ Pierwiastki: $x_{1}=-2$ $x_{2}=-\frac{4}{3}$ $x_{3}=1$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj