logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Planimetria, zadanie nr 1276

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

1629
postów: 3
2012-01-14 00:08:46

1. W trojkacie prostokatnym ABC przyprostokatne AC i BC maja dlugosci odpowiednio 12 i 9. Na boku AB wybrano taki punkt D,ze odcinki BC i BD maja rowne dlugosci. Oblicz cosinus kata BCD, promien okrego wpisanego w trojkat BCD i promien okregu opisanego na tym trojkacie.
2.w trapezie ABCD dlugosc dluzszej podstawy AB=10 oraz dlugosc ramienia AD=6. Dwusieczna kata BAD przecina podstawe DC w punkcie P. oblicz dlugosc krotszej podstawy trapezu, jezeli pole czworokata ABCP jest dwa razy wieksze od pola trojkata ABS, gdzie S jest punktem przeciecia odcinka AP z przekatna DB.
3.Bok kwadratu ABCD ma dlugosc 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by CE=2DF. Oblicz wartosc x=DF, dla ktorej pole trojkata AEF jest najmniejsze.
4.Na bokach BC i CD rownolegloboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH. Udowodnij, ze AC=FG
(RYS) http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/4d8f00776ec22242.html


agus
postów: 2386
2012-01-14 10:00:05

3.
DF =x, CE=2x

Pole trójkąta AFE obliczymy odejmując od pola kwadratu pola trzech trójkątów prostokątnych:

1-$\frac{1}{2}$$\cdot$1$\cdot$x-$\frac{1}{2}$$\cdot$1$\cdot$(1-2x)-$\frac{1}{2}$$\cdot$2x$\cdot$(1-x)=
=$x^{2}$-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$

najmniejszą wartość przyjmuje ta funkcja dla x=$\frac{1}{2}$:2=$\frac{1}{4}$ (pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli danej równaniem jak wyżej)


agus
postów: 2386
2012-01-14 10:13:12

4.
$\angle$BCG=$90^{0}$
$\angle$DCF=$90^{0}$
niech
$\angle$ABC=$\alpha$
zatem
$\angle$BCD=$180^{0}$-$\alpha$
wobec tego
$\angle$GCF=$\alpha$

GC=BC
AB=CF

stąd trójkąty ABC i FCG są przystające
zatem
AC=FG


agus
postów: 2386
2012-01-14 10:38:03

1.
Z twierdzenia Pitagorasa AB=15.
BD=9, DA=6

Z punktu D prowadzimy odcinek DE prostopadły do AC.

Jeśli BD to $\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$ AB, to CE to też $\frac{3}{5}$ AB (twierdzenie Talesa)

CE=$\frac{3}{5}$$\cdot$12=7,2

Z twierdzenia Pitagorasa DC=3,6$\sqrt{5}$

Z twierdzenia cosinusów

cos $\angle$BCD=$\frac{9^{2}+3,6^{2}\cdot5-9^{2}}{2\cdot9\cdot3,6\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$

promień okręgu opisanego na trójkącie BCD

R=$\frac{a}{2sin\alpha}$

z jedynki trygonometrycznej
sin$\alpha$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

R=$\frac{9\cdot\sqrt{5}}{4}$

promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD

r= $\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$, gdzie p to połowa obwodu trójkąta

obwód trójkąta BCD 18+3,6$\sqrt{5}$
połowa obwodu 9+1,8$\sqrt{5}$

r=$\sqrt{\frac{(9+1,8\sqrt{5}-3,6\sqrt{5})(9+1,8\sqrt{5}-9)^{2}}{9+1,8\sqrt{5}}}$=4,5-0,9$\sqrt{5}$

Wiadomość była modyfikowana 2012-01-14 16:48:28 przez agus

agus
postów: 2386
2012-01-14 11:34:41

2.
Półprosta AP jest dwusieczną kąta BAD
zatem
$\angle$BAP=$\angle$DAP=$\alpha$

z własności trapezu (równoległości AB i DC) wynika,że
$\angle$DPA=$\alpha$

zatem trójkąt ADP jest równoramienny i DP=6

trójkąty ABS i DPS są podobne (trzy takie same kąty, jeden przy wierzchołku S, drugi $\alpha$)
stąd wysokości tych trójkątów można oznaczyć odpowiednio 10h i 6h, a trapezu ABCD 16h

$\frac{16h}{6}$ =sin$2\alpha$
16 h= 6sin$2\alpha$
h=0,375sin$2\alpha$

niech PC=x

Pole trapezu ABCP wynosi

$\frac{1}{2}$(10+x)$\cdot$6sin$2\alpha$

a dwa pola trójkąta ABS

2$\cdot$$\frac{1}{2}$$\cdot$10$\cdot$10$\cdot$0,375sin$2\alpha$
porównując te wyrażenia otrzymujemy
30+3x=37,5
x=2,5
zatem krótsza podstawa DC wynosi 6+2,5=8,5


1629
postów: 3
2012-01-14 15:37:28

D jest środkiem AB zatem BD=AD=7,5 skad wiesz ze jest srodkiem ?
Odcinek CB i DB maja po 9, chyba zle zrozumialas tresc-albo ja.
Dziekuje goraco!


agus
postów: 2386
2012-01-14 15:43:15

1.Rzeczywiście, źle odczytałam treść zadania, więc rozwiązanie jest dla innego zadania. Już poprawiłam. Obliczenia są masakryczne, zwłaszcza promień okręgu wpisanego.

Wiadomość była modyfikowana 2012-01-14 16:32:56 przez agus

1629
postów: 3
2012-01-14 16:01:41

Zrobisz to zadanko poprawnie ? Bo ja probowalem jakos tw cosinusow to mi wychodzi beznadziejnie


agus
postów: 2386
2012-01-14 22:11:58

dokładne wyliczenia

cos$\angle$BCD=$\frac{3,6\cdot3,6\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}{2\cdot9\cdot3,6\cdot\sqrt{5}}$=0,2$\cdot$$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sqrt{\frac{1,8^{2}\cdot\sqrt{5}^{2}(9+1,8\sqrt{5}-3,6\sqrt{5})}{9+1,8\sqrt{5}}}$=1,8$\cdot$$\sqrt{5}$$\cdot$$\sqrt{\frac{(9-1,8\sqrt{5})^{2}}{9^{2}-1,8^{2}\cdot\sqrt{5}^{2}}}$=1,8$\cdot$$\sqrt{5}$(9-1,8$\sqrt{5}$)$\sqrt{\frac{1}{81-16,2}}$=1,8$\cdot$$\sqrt{5}$(9-1,8$\sqrt{5}$)$\sqrt{\frac{1}{64,8}}$=1,8$\cdot$$\sqrt{5}$(9-1,8$\sqrt{5}$)$\sqrt{\frac{1}{4\cdot9\cdot9\cdot0,2}}$= 1,8$\cdot$$\sqrt{5}$(9-1,8$\sqrt{5}$)$\cdot$$\frac{1}{2\cdot3\cdot3\cdot\sqrt{\frac{1}{5}}}$=0,1$\cdot$5(9-1,8$\sqrt{5})$=4,5-0,9$\sqrt{5}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj