Geometria w układzie kartezjańskim, zadanie nr 1340

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
jessica0303 postów: 146	2012-01-19 23:39:52 W trójkącie prostokątnym ABC, gdzie \|kąt ACB\| = 90 stopni, wierzchołek B ma współrzędne (6,0) Prosta k: 11x + 2y - 6 = 0, zawierająca środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C, przecina bok AB trójkąta w punkcie S(1,-2$\frac{1}{2}$) Wyznacz współrzędne punktów A i C.

monte_christo postów: 23	2012-01-20 11:09:54 Punkt S jest środkiem odcinka AB zatem $\frac{6+x_{A}}{2}=1 $ oraz $ \frac{0+y_{A}}{2}=-2\frac{1}{2}$ Stąd punkt A ma współrzędne (-4,-5) Punkt S jest również środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Promień tego okręgu jest równy połowie odcinka AB. Zatem $r=\frac{1}{2}\sqrt{(6-(-4))^{2}+(0-(-5))^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{100+25}=\frac{1}{2}\sqrt{125}=\frac{5}{2}\sqrt{5}$ Równanie okręgu ma postać $(x-1)^{2}+(y+2\frac{1}{2})^{2}=\frac{125}{4} $ Wiemy że punkt C leży na prostej k. Przekształcając wzór funkcji k otrzymujemy: $y=-\frac{11}{2}x+3 $ Punkt C jest puntem wspólnym okręgu i prostej k. Stąd $\left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+(y+2\frac{1}{2})^{2}=\frac{125}{4}\\y=-\frac{11}{2}x+3 \end{matrix}\right.$ Podstawiając drugie równanie do pierwszego i przekształcając otrzymujemy: $(x-1)^{2}+(-\frac{11}{2}x+3+2\frac{1}{2})^{2}=\frac{125}{4} $ $(x-1)^{2}+(-\frac{11}{2}x+5\frac{1}{2})^{2}=\frac{125}{4} $ $(x-1)^{2}+(-\frac{11}{2}x+\frac{11}{2})^{2}=\frac{125}{4} $ $(x-1)^{2}+(\frac{11}{2})^{2}(-x+1)^{2}=\frac{125}{4} $ $(x-1)^{2}+(\frac{11}{2})^{2}(x-1)^{2}=\frac{125}{4} $ $\frac{125}{4}(x-1)^{2}=\frac{125}{4} $ $(x-1)^{2}=1 $ Stąd x=2 lub x=0. Zatem współrzędne punktu C wynoszą (2,-8) lub (0,3)

agus postów: 2387	2012-01-20 11:15:34 Proponuję rozwiązanie: S-środek AB A=(x,y) zatem $\frac{x+6}{2}$=1 x=-4 $\frac{0+y}{2}$=-2$\frac{1}{2}$ y=-5 A=(-4,-5) Punkt C należy do środkowej 11x+2y-6=0 y=-5,5x+3 zatem C=(x;-5,5x+3) (1) Trójkąt ABC jest prostokątny, więc skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa: $(x+4)^{2}$+$(-5,5x+3+5)^{2}$+$(x+6)^{2}$+$(-5,5x+3)^{2}$=$(6+4)^{2}$+$5^{2}$ po uporządkowaniu otrzymujemy 62,5$x^{2}$-125x=0 62,5x(x-2)=0 zatem x=0 lub x=2 a z (1) y=3 lub y=-8 stąd C=(0,3) lub C=(2,-8)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj