logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Geometria w układzie kartezjańskim, zadanie nr 1340

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

jessica0303
postów: 146
2012-01-19 23:39:52

W trójkącie prostokątnym ABC, gdzie |kąt ACB| = 90 stopni, wierzchołek B ma współrzędne (6,0)
Prosta k: 11x + 2y - 6 = 0, zawierająca środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C, przecina bok AB trójkąta w punkcie S(1,-2$\frac{1}{2}$)
Wyznacz współrzędne punktów A i C.


monte_christo
postów: 23
2012-01-20 11:09:54

Punkt S jest środkiem odcinka AB zatem
$\frac{6+x_{A}}{2}=1 $
oraz
$ \frac{0+y_{A}}{2}=-2\frac{1}{2}$
Stąd punkt A ma współrzędne (-4,-5)
Punkt S jest również środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Promień tego okręgu jest równy połowie odcinka AB. Zatem
$r=\frac{1}{2}\sqrt{(6-(-4))^{2}+(0-(-5))^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{100+25}=\frac{1}{2}\sqrt{125}=\frac{5}{2}\sqrt{5}$
Równanie okręgu ma postać
$(x-1)^{2}+(y+2\frac{1}{2})^{2}=\frac{125}{4} $
Wiemy że punkt C leży na prostej k.
Przekształcając wzór funkcji k otrzymujemy:
$y=-\frac{11}{2}x+3 $
Punkt C jest puntem wspólnym okręgu i prostej k. Stąd
$\left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+(y+2\frac{1}{2})^{2}=\frac{125}{4}\\y=-\frac{11}{2}x+3 \end{matrix}\right.$
Podstawiając drugie równanie do pierwszego i przekształcając otrzymujemy:
$(x-1)^{2}+(-\frac{11}{2}x+3+2\frac{1}{2})^{2}=\frac{125}{4} $
$(x-1)^{2}+(-\frac{11}{2}x+5\frac{1}{2})^{2}=\frac{125}{4} $
$(x-1)^{2}+(-\frac{11}{2}x+\frac{11}{2})^{2}=\frac{125}{4} $
$(x-1)^{2}+(\frac{11}{2})^{2}(-x+1)^{2}=\frac{125}{4} $
$(x-1)^{2}+(\frac{11}{2})^{2}(x-1)^{2}=\frac{125}{4} $
$\frac{125}{4}(x-1)^{2}=\frac{125}{4} $
$(x-1)^{2}=1 $
Stąd x=2 lub x=0. Zatem współrzędne punktu C wynoszą (2,-8) lub (0,3)


agus
postów: 2387
2012-01-20 11:15:34

Proponuję rozwiązanie:

S-środek AB A=(x,y)
zatem
$\frac{x+6}{2}$=1 x=-4
$\frac{0+y}{2}$=-2$\frac{1}{2}$ y=-5

A=(-4,-5)

Punkt C należy do środkowej
11x+2y-6=0
y=-5,5x+3

zatem C=(x;-5,5x+3) (1)

Trójkąt ABC jest prostokątny, więc skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$(x+4)^{2}$+$(-5,5x+3+5)^{2}$+$(x+6)^{2}$+$(-5,5x+3)^{2}$=$(6+4)^{2}$+$5^{2}$
po uporządkowaniu otrzymujemy
62,5$x^{2}$-125x=0
62,5x(x-2)=0

zatem x=0 lub x=2
a z (1) y=3 lub y=-8

stąd C=(0,3) lub C=(2,-8)


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj