Geometria, zadanie nr 1370

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ivanes postów: 2	2012-01-28 19:37:15 Jak udowodnić, że figura ograniczona ma najwyżej jeden środek symetrii? Najlepiej na przykładzie dwóch środków symetrii, ale proszę o każdą pomoc. Nie wiem czy to zadanie już było, ale bardzo proszę o rozwiązanie.

irena postów: 2636	2012-01-29 11:28:53 Nie znalazłam nigdzie rozwiązania. Ale zaczęłam tak: - Niech S i T będą dwoma różnymi od siebie środkami symetrii figury F. Niech punkt P należy do figury F. Można rozpatrywać ciąg punktów: - $P_1$ - obraz punktu P w symetrii względem punktu S - $P_2$ - obraz punktu $P_1$ w symetrii względem punktu T - $P_3$- punkt symetryczny do $P_2$ względem punktu S - $P_4$ - symetryczny do $P_3$ względem punktu T . . . Wszystkie punkty otrzymane w ten sposób należą do figury F. Punkty te leżą na prostej ST (jeśli punkt P leży na tej prostej) lub na dwóch prostych równoległych do prostej ST. Trzeba by pokazać, że zbiór tych punktów nie może należeć do figury ograniczonej. Ja sobie narysowałam prostą, na niej punkty S i T odległe od siebie o p. Punkt P nie leży na prostej ST, jego prostokątny rzut na prostą ST, czyli punkt P', leży pomiędzy S i T i odległość S od tego rzutu jest równa x. Jeśli rozpatrywać odległości punktów S i T od rzutów kolejno otrzymywanych punktów symetrycznych, to będziemy mieć: $\|SP_1'\|=x$ $\|TP_2'\|=x+p$ $\|SP_3'\|=2p+x$ $\|TP_4'\|=3p+x$ Ciąg tych odległości jest rosnący, czyli wszystkie tak otrzymane punkty (należące do figury F) nie są zawarte w figurze ograniczonej.

ivanes postów: 2	2012-01-29 20:22:46 Bardzo dziękuję za pomoc, jestem Ci dozgonnie wdzięczny

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj