Geometria, zadanie nr 1598
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| bilderberg postów: 1 |  2012-03-24 20:55:55Na prostokącie o długości a i b opisano okrąg. Wykazac, że suma kwadratów odległości dowolnego punktu na okręgu od prostych zawierających boki prostokąta jest stała i wynosi $a^{2}+b^{2}$. Wiadomość była modyfikowana 2012-03-24 20:58:20 przez Szymon |
| tumor postów: 8070 | 2012-09-11 11:31:22 Narysujmy sobie prostokąt $ABCD$ wpisany w okrąg. Jeśli punkt $P$ jest którymś z wierzchołków, to odległości do dwóch prostych zawierających boki i punkt $P$ wynoszą $0$, natomiast do pozostałych dwóch prostych zawierających boki odpowiednio $a$ i $b$. $0^2+0^2+a^2+b^2 = a^2+b^2$ Weźmy zatem punkt $P$ okręgu nie będący żadnym z wierzchołków, dla ustalenia uwagi niech znajduje się on na łuku $CD$. Odległość punktu $P$ od prostej $CD$ oznaczmy $c$ Odległość punktu $P$ od prostej $AD$ oznaczmy $d$ Odległość punktu $P$ od prostej $AB$ oznaczmy $e$ Odległość punktu $P$ od prostej $BC$ oznaczmy $f$ Zauważmy, że $c^2+d^2 = |PD|^2$ Podobnie $e^2+f^2 = |PB|^2$ Zatem $c^2+d^2+e^2+f^2=|PD|^2+|PB|^2$ Trójkąt $PBD$ jest prostokątny, gdyż jednym z boków jest średnica $BD$ okręgu. Ponadto wiemy, że $|BD|^2=a^2+b^2$ Zatem $c^2+d^2+e^2+f^2=|PD|^2+|PB|^2 = |BD|^2=a^2+b^2$ Co należało pokazać. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj