logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Planimetria, zadanie nr 1636

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

witam24
postów: 14
2012-03-29 15:34:40

1.Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę $\alpha$. Oblicz stosunek wysokośći poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt .

2. Na okręgu o promieniu 1 opisano trójąt prostokątny , którego przyprostokąne mają długośći x i y
a) Wyznacz y jako funkcję x i określ dziedzinę tej funkcji .

3. Długośći boków trójkąta są kolejnymi wyrazami ciąu arytmetycznego . Obwód trójkąta jest równy 21 , a cosinus największego kąta $-$0,1 . Oblicz długośći boków tego trójkąa .

4.Długośći boków trójkąta prostokątnego tworzą rosnący ciąg arytmetyczny . Wykaż , że jego różnica jest długością promienia okręgu wpisaneg w ten trójkąt .

5.Krótszy bok równoległoboku ma długość 3 . Dwa okręgi o promieniu 1 wpisano w równoległobok w taki sposób , że oba okręgi są stycznie zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do trzech boków równoległoboku Oblicz długośc dłuższego boku równoległoboku .


marcin2002
postów: 484
2012-03-29 16:36:24

ZADANIE 1 RYSUNEK



marcin2002
postów: 484
2012-03-29 16:36:50

ZADANIE 1 OBLICZENIA

ZE WZORÓW NA POLE TRÓJKĄTA WYZNACZAM PROMIEŃ I WYSOKOŚĆ

$P=\frac{1}{2}r(a+b+c)\Rightarrow r=\frac{2P}{a+b+c}$

$\frac{1}{2}c\cdot h \Rightarrow h=\frac{2P}{c}$


$\frac{h}{r}=\frac{\frac{2P}{c}}{\frac{2P}{a+b+c}}=\frac{a+b+c}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1=cos\alpha+sin\alpha+1$



marcin2002
postów: 484
2012-03-29 16:51:14

ZADANIE 3 RYSUNEK



marcin2002
postów: 484
2012-03-29 16:51:40

ZADANIE 3 OBLICZENIA

a ; a+r ; a+2r - długości boków

$a+a+r+a+2r=21 \Rightarrow 3a+3r=21 \Rightarrow r=7-a$

ZATEM DŁUGOŚCI BOKÓW TRÓJKĄTA MAJĄ

a ; 7 ; 14-a

ZAPISUJEMY TWIERDZENIE COSINUSÓW

$|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2\cdot|AB|\cdot|BC|cos\alpha$
$(14-a)^2=a^2+7^2-14a\cdot(-0,1)$
$196-28a+a^2=a^2+49+1,4a$
$29,4a=147$
$a=5$

a=5
b=7
c=14-5=9

BOKI TRÓJKĄTA MAJĄ DŁUGOŚCI 5,7,9



marcin2002
postów: 484
2012-03-29 17:10:27

ZADANIE 5 RYSUNEK



marcin2002
postów: 484
2012-03-29 17:10:57

ZADANIE 5 WYJAŚNIENIE

RÓWNOLEGŁOBOK DZIELIMY NA DWA TRAPEZY PROSTOKĄTNE PROSTĄ EF
ZAUWAŻMY ŻE |AE|+|DF|=|AB|
KAŻDY Z TYCH TRAPEZÓW OPISANY JEST NA OKRĘGU
Z WARUNKU OPISYWALNOŚCI CZWOROKĄTA NA OKRĘGU
|AE|+|DF|=3+2
|AE|+|DF|=5
|AB|=5
DŁUŻSZY BOK RÓWNOLEGŁOBOKU JEST RÓWNY 5



agus
postów: 2386
2012-03-29 17:15:34

2.

promienie okręgu poprowadzone do punktów styczności podzielą trójkąt prostokątny na 3 deltoidy, a przyprostokątna x na odcinki 1 i x-1, przyprostokątną y na 1 i y-1, a przeciwprostokątną na odcinki x-1 i y-1 (będzie mieć długość x+y-2)

dla trójkąta prostokątnego stosujemy tw. Pitagorasa

$x^{2}+y^{2}=(x+y-2)^{2}$
$x^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}+4+2xy-4x-4y$
4y-2xy=4-4x /:2
2y-xy=2-2x
y(2-x)=2-2x /:(2-x)

y=$\frac{2-2x}{2-x}=\frac{2x-2}{x-2}=\frac{2x-4+2}{x-2}$=

=$\frac{2x-4}{x-2}+\frac{2}{x-2}$=2+$\frac{2}{x-2}$

dziedzina funkcji: (2;+$\infty$)


Wiadomość była modyfikowana 2012-03-29 17:44:56 przez agus

agus
postów: 2386
2012-03-29 17:43:58

4.

x,x+r,x+2r boki trójkąta prostokątnego, r>0 różnica ciągu arytmetycznego

tw.Pitagorasa:

$x^{2}+(x+r)^{2}=(x+2r)^{2}$
$x^{2}+x^{2}+2rx+r^{2}=x^{2}+4rx+4r^{2}$
$x^{2}-2rx-3r^{2}$=0
$\triangle$=16$r^{2}$
$\sqrt{\triangle}$=4r

x=$\frac{2r+4r}{2}$=3r (drugi z pierwiastków odrzucamy, bo jest ujemny)

3r,4r,5r- boki trójkąta prostokątnego

promienie (R) okręgu poprowadzone do punktów styczności podzielą boki trójkąta na odcinki (patrz zad.2)

R i 3r-R, R i 4r-R, 3r-R i 4r-R
zatem przeciwprostokątna ma długość 3r-R+4r-R=7r-2R

czyli 7r-2R=5r
2r=2R
r=R

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj