logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Planimetria, zadanie nr 1655

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

witam24
postów: 14
2012-03-31 12:22:07

11. Wykaż , że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.

12. Przekątna trapezu równoramiennego dzieli jego kąt ostry na kąty o miarach $\alpha$ i $\beta$ ($\alpha$- kąt między przekątną i podstawą). Wyznacz stosunek pól trójkątów , na jakie przekątna ta dzieli trapez.

13. Trapez Równoramienny o podstawach dł. a i b (a > b)opisany jest na kole . Oblicz pole tego koła.

14.Dane są 4 okręgi . Każdy z nich jest styczny zewn. do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Uzasadnij , że środki tych okręgów są wierzchołkami czworokąta , w który można wpisać okrąg .

15.W okrąg wpisano trójkąt ABC , w którym |$\angle$A| = 50 st. , |$\angle$B|= 70 st. Przez wierzchołek kąta C poprowadzono styczną do okręgu , przecinająca przedłużenie boku AB w punkcie D . Oblicz miary kątów trójkąta BCD.




aididas
postów: 279
2012-03-31 13:00:37

14.Warunkiem, aby w czworokąt można było wpisać okrąg, jest to, że suma przeciwległych boków jest równa drugiej sumie przeciwległych boków. Gdyby narysować rysunek to widać że boki mają długość:
a=$r_{1}+r_{2}$
b=$r_{2}+r_{3}$
c=$r_{3}+r_{4}$
d=$r_{4}+r_{1}$

Suma jednej pary przeciwległych boków wynosi:
a+c=$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}$


Suma drugiej pary przeciwległych boków wynosi:
b+d=$r_{2}+r_{3}+r_{4}+r_{1}$
b+d=$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}$

a+c=b+d
$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}$=$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}$


W ten czworokąt można wpisać okrąg, gdyż suma przeciwległych boków jest równa drugiej sumie przeciwległych boków.

Wiadomość była modyfikowana 2012-03-31 13:00:54 przez aididas

Szymon
postów: 657
2012-03-31 13:49:49

13.

c - ramię tego trapezu

$c+c = a+b$
$2c = a+b /:2$
$c = \frac{a+b}{2}$

2r = d - średnica tego okręgu

$d^2+(\frac{a-b}{2})^2 = c^2$
$(2r)^2+\frac{a^2-2ab+b^2}{4} = (\frac{a+b}{2})^2$
$4r^2+\frac{a^2-2ab+b^2}{4} = \frac{a^2+2ab+b^2}{4}$
$4r^2 = \frac{a^2+2ab+b^2}{4} - \frac{a^2-2ab+b^2}{4}$
$4r^2 = \frac{a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)}{4}$
$4r^2 = \frac{4ab}{4} /:4$
$r^2 = \frac{ab}{4}$
$P_{koła} = {\pi}r^2$
$P_{koła} = \frac{ab}{4}\cdot\pi = \frac{{\pi}ab}{4}$

Odp.: Pole tego koła to $\frac{{\pi}ab}{4}$.


Szymon
postów: 657
2012-03-31 13:52:49

11.

ABCD - dowolny czwrokąt
EFGH - czworokąt którego wierzchołki są środkami boków czworokąta ABCD i wyznaczają one równoległobok.

Jeżeli dorysujemy przekątną DB , to na mocy twierdzenia Talesa jest ona równoległa do odcinków GF i HE . Podobnie, odcinki EF i HG są równoległe do przekątnej AC . Czworokąt EFGH jest więc równoległobokiem.


aididas
postów: 279
2012-03-31 13:58:20

13.Skoro trapez jest opisany na kole, to koło jest wpisane w trapez. Wysokość trapezu (h) stanowi podwójną wartośc promienia koła (r):
h=2r

Bok a składa się z boku b oraz dwóch odcinków $\frac{a-b}{2}$:
a=b+$\frac{a-b}{2}$

Wiadomo, że:
a+c=b+d
czyli:
a+b=2c
c=$\frac{a+b}{2}$

Z pitagorasa wyliczamy wysokość:
$(\frac{a+b}{2})^{2}-(\frac{a-b}{2})^{2}=(2r)^{2}$
$\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}-\frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{4}=4r^{2}$
$a^{2}+2ab+b^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})=16r^{2}$
$a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}=16r^{2}$
$4ab=16r^{2}$
$r^{2}=\frac{ab}{4}$

$P_{k}=\pi r^{2}=\pi\frac{ab}{4}=\frac{ab\pi}{4}$

Odp.: Wzór na pole koła to $\frac{ab\pi}{4}$


Szymon
postów: 657
2012-03-31 14:04:46

15.

Narysuj sobie do tego rysunek.

Oznacz środek tego okręgu przez O. Jeśli kąt CBA ma 70 stopni to kąt CBD ma 180-70 = 110 stopni ( są to kąty przyległe). Kąt COB jako kąt środkowy oparty na kącie wpisanym wynosi 2*50=100 stopni ( 2 * kąt BAC). Trójkąt BOC jest równoramienny więc kąt OCB = kąt OBC = $\frac{180-100}{2} = 40$ stopni. CD jest styczną do okręgu w pkt. C, więc kąt OCD=90 stopni.Kąt OCD-Kąt OCB = 90-40 = 50 = kąt BCD. Suma kątów w trójkącie to 180 stopni , więc kąt CDB = 20 stopni.

Odp.: Kąty te to 110,50,20


agus
postów: 2386
2012-03-31 16:49:10

12.
a- dłuższa podstawa trapezu (a=b+2x)
b- krótsza podstawa trapezu

W trapezie równoramiennym, w którym poprowadzono przekątną i zaznaczono kąty$\alpha i \beta$ poprowadźmy też wysokość, która podzieli dłuższą podstawę na odcinki b+x i x.

$\frac{x+b}{h}$=ctg$\alpha$

$\frac{x}{h}+\frac{b}{h}$=ctg$\alpha$ (1)

$\frac{x}{h}$=ctg$(\alpha+\beta)$ (2)

po podzieleniu (1) przez (2) otrzymujemy

1+$\frac{b}{x}$=$\frac{ctg\alpha}{ctg(\alpha+\beta)}$

$\frac{b}{x}$=$\frac{ctg\alpha}{ctg(\alpha+\beta)}$-1=
=$\frac{ct\alpha-ctg(\alpha+\beta)}{ctg(\alpha+\beta)}$

$\frac{x}{b}$=$\frac{ctg(\alpha+\beta)}{ctg\alpha-ctg(\alpha+\beta)}$ (3)

stosunek pól trójkątów

$\frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{1}{2}bh}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{b+2x}{b}$=1+$\frac{2x}{b}$
podstawiając (3) otrzymujemy

1+$\frac{2ctg(\alpha+\beta)}{ctg\alpha-ctg(\alpha+\beta)}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj