logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1721

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

masmak
postów: 28
2012-04-16 18:04:57

10. Liczbe 180 przedstaw w postaci sumy czterech skladnikow bedacych liczbami calkowitymi tak, aby tworzyly one ciag geometryczny w ktorym trzeci wyraz bylby wiekszy od pierwszego o 36.
11. W trojkacie ABC dane sa $ |\angle ABC|= 60 stopni$ i $ |AB|=\sqrt{31} $. Na boku AC obrano taki punkt D, ze dlugosc odcinka AD wynosi 3. Znajdz dlugosc boku BC, jesli $ |BD|=2\sqrt{7} $.
12. Dane sa punkty A(2,1) i B(5,2). Na proste x-y-1=0 wyznacz taki punkt M, aby pole trojkata MAB bylo rowne 5.

Wiadomość była modyfikowana 2012-04-16 18:06:04 przez masmak

ttomiczek
postów: 208
2012-04-17 17:43:09

10.
Mamy układ równań
$a_{1}+a_{1}*q+a_{1}*q^2+a_{1}*q^3=180$ i $a_{1}*q^2=a_{1}+36$

$a_{1}(1+q+q^2+q^3)=180$ i $a_{1}(q^2-1)=36$

$\frac{36}{q^2-1}*(1+q+q^2+q^3)=180$
$\frac {(1+q^2)(1+q)}{(q-1)(q+1)}=5$
$\frac {1+q^2}{q-1}=5$
$1+q^2=5q-5$
$q^2-5q+6=0$
$q_{1}=2 \vee q_{2}=3 $
$a_{1_{1}}=12 \vee a_{1_{1}}=4,5$ sprz z założeniem zadania

Odp: 12,24,48,96


agus
postów: 2387
2012-04-18 18:15:34

11.

P-pole trójkąta ABC

P=$\frac{1}{2}\sqrt{31}x sin60^{0}$=$\frac{\sqrt{31}\sqrt{3}}{4}$x

$P_{1}$-pole trójkąta ABD

$P_{1}$=$\frac{1}{2}\sqrt{31}\cdot2\sqrt{7}sin\alpha$=$\sqrt{31}\sqrt{7}sin\alpha$

$P_{2}$-pole trójkąta BDC
$P_{2}$=$\frac{1}{2}2\sqrt{7}xsin(60^{0}-\alpha)$=$\sqrt{7}x(sin60^{0}cos\alpha-cos60^{0}sin\alpha)$=$\sqrt{7}x(\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha-\frac{1}{2}sin\alpha)$

P=$P_{1}*P_{2}$

$\frac{\sqrt{31}\sqrt{3}}{4}x$=$\sqrt{31}\sqrt{7}sin\alpha+\frac{\sqrt{7}\sqrt{3}}{2}xcos\alpha-\frac{\sqrt{7}}{2}xsin\alpha$ (1)

z tw. cosinusów

$3^{2}=\sqrt{31}^{2}+(2\sqrt{7})^{2}-2\sqrt{31}\cdot2\sqrt{7}cos\alpha$

cos$\alpha$=$\frac{25}{2\sqrt{31}\sqrt{7}}$ (2)

sin$\alpha$wyliczamy z jedynki trygonometrycznej

sin$\alpha$=$\sqrt{1-(\frac{25}{2\sqrt{31}\sqrt{7}})^{2}}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{31}\sqrt{7}}$ (3)

po podstawieniu (2) i (3) do (1) (żeby łatwo się skracało wcześniej nie mnożyłam pierwiastków)i pomnożeniu równania przez 4 otrzymujemy
$\sqrt{31}\sqrt{3}x=18\sqrt{3}+\frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{31}}-\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{31}}$

po zredukowaniu wyrazów po prawej stronie i podzieleniu przez $\sqrt{3}$

$\sqrt{31}x=18+\frac{16}{\sqrt{31}}x$

wyznaczamy x

x=$\frac{18\sqrt{31}}{15}$=$ \frac{6\sqrt{31}}{5}$



Wiadomość była modyfikowana 2012-04-18 18:30:56 przez agus

agus
postów: 2387
2012-04-18 18:47:09

12.

długość odcinka AB=$\sqrt{(5-2)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{10}$

pole trójkąta

$\frac{1}{2}\sqrt{10}h$=5

h=$\sqrt{10}$

równanie prostej AB

współczynnik a

a=$\frac{2-1}{5-2}=\frac{1}{3}$

współczynnik b

y=ax+b (podstawiamy (5,2) oraz wyliczone a)
2=$\frac{5}{3}$+b

b=$\frac{1}{3}$

y=$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$

M należy do prostej x-y-1=0 ,czyli do y=x-1
M ma współrzędne(x,x-1)

Odległość punktu M od prostej AB wynosi h=$\sqrt{10}$

$\frac{|\frac{1}{3}x-(x-1)+\frac{1}{3}}{\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}+(-1)^{2}}}$=$\sqrt{10}$

po uporządkowaniu

$|-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}|=\frac{1}{3}$

1)$-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}\ge$0
po rozwiązaniu
x$\le$2

$-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$
po rozwiązaniu
x=1,5 (spełnia założenie)
y=0,5 (y=x-1)

2)$-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}<$0
po rozwiązaniu
x$>$2
$\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$
po rozwiązaniu
x=2,5 (spełnia założenie)
y=1,5

rozwiązanie
M=(1,5;0,5) lub M=(2,5;1,5)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj