logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Stereometria, zadanie nr 1722

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

masmak
postów: 28
2012-04-16 18:11:20

13. Podstawa ostroslupa jest romb, ktorego kat ostry ma miare 30 stopni. Sciany boczne ostroslupa sa nachylone do plaszczyzny podstawy pod katem 60 stopni. Oblicz objetosc i pole powierzchni calkowitej ostroslupa, jesli promien okregu wpisanego w romb ma dlugosc r.


aididas
postów: 279
2012-04-17 19:25:06

13. Wysokość rombu w podstawie wynosi 2r. Tą wysokość możemy tak przesunąć, aby powstał trójką o kątach $90^{\circ}$,$60^{\circ}$ oraz $30^{\circ}$. Wtedy wyliczamy, że bok rombu wynosi 4r. Mając bok i padającą na ten bok wysokość można wyliczyć pole podstawy:
$P_{p}=a\cdot h$
$P_{p}=4r\cdot 2r$
$P_{p}=8r^{2}$
Teraz odpowiedni przekrój ostrosłupa (przekrój, w którym powstaje trójkąt równoboczny o boku 2r) wskazuje, że wysokość całego ostrosłupa wynosi $\frac{2r\sqrt{3}}{2}$=$r\sqrt{3}$. Dzięki temu wyliczamy objętość:
$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H$
$V=\frac{1}{3}\cdot8r^{2}\cdot r\sqrt{3}$
$V=\frac{8r^{3}\sqrt{3}}{3}$
Wysokość w ścianie bocznej (w trójkącie) wynosi 2r (jest to samo 2r, które występowało w powyższym przekroju ostrosłupa). Wszystkie ściany są równe, więc pole całkowite wynosi:
$P_{c}=P_{p}+4\cdot P_{ściany bocznej}$
$P_{c}=8r^{2}+4\cdot \frac{1}{2}\cdot4r\cdot2r$
$P_{c}=8r^{2}+4\cdot4r^{2}$
$P_{c}=8r^{2}+16r^{2}$
$P_{c}=24r^{2}$

Odp.: Objętość ostrosłupa wynosi $\frac{8r^{3}\sqrt{3}}{3}$, a pole całkowite wynosi $24r^{2}$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj