logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Inne, zadanie nr 1726

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

masmak
postów: 28
2012-04-16 18:33:59

23. Krawedz podstawy ostroslupa prawidlowego trojkatnego ma dlugosc a. Pole powierzchni bocznej tego ostroslupa wynosi $ \frac{1}{4}\sqrt{15}a^{2} $. Oblicz miare kata nachylenia krawedzi bocznej do plaszczyzny podstawy.
24. Srodek jednej z wysokosci czworoscianu foremnego polaczono odcinkami z dwoma wierzcholkami nienalezacymi do tej wysokosci. Wykaz ze odcinki te sa prostopadle.
25. Rozwiniecie powierzchni bocznej stozka jest wycinkiem kolowym o kacie srodkowym $ /alpha $. Kat ten oparty jest na cieciwie o dlugosci a. Oblicz objetosc tego stozka.


pm12
postów: 493
2012-04-16 20:38:04

23.

Obliczmy h-wysokość ściany bocznej.

$\frac{a^2*\sqrt{15}}{4}$ = $\frac{3*a*h}{2}$

h=$\frac{a*\sqrt{15}}{6}$

Mamy ścianę boczną.
Znamy podstawę i wysokość, pozostaje ramię c.

A więc

$c^{2}$ = $\frac{a^2}{4}$ + $\frac{15*a^2}{36}$

c=a*$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny zawierający wysokość ostrosłupa H, wysokość h oraz trzecią część wysokości podstawy. Obliczmy H.

Mamy

$H^{2}$ = $\frac{15*a^2}{36}$ - $\frac{3*a^2}{36}$

H = $\frac{a*\sqrt{3}}{3}$

Mamy trójkąt prostokątny zawierający wysokość H oraz ramię c.
Mamy sin$\alpha$=$\frac{H}{c}$=$\frac{a*\sqrt{3}}{3}$$\div$(a*$\sqrt{\frac{2}{3}})$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

A więc $\alpha$=45 stopni

Wiadomość była modyfikowana 2012-04-16 21:02:25 przez pm12

agus
postów: 2387
2012-04-16 20:41:32

24.
H-wysokość czworościanu

$H^{2}$=$a^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^{2}$=$\frac{2}{3}a^{2}$=$\frac{6}{9}a^{2}$
H=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a

$\frac{1}{2}$H=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a

r-długość odcinka łączącego środek wysokości czworościanu z wierzchołkiem nie należącym do wysokości

$r^{2}$=$(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^{2}+(\frac{\sqrt{6}}{6}a)^{2}$=$\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{6}a^{2}=\frac{1}{2}a^{2}$

r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a

$\alpha$-szukany kąt (między odcinkami r)

cos$\frac{\alpha}{2}$=$ \frac{\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a} $=$ \frac{\sqrt{2}}{2} $

$\frac{\alpha}{2}=45^{0}$
$\alpha=90^{0}$

Wiadomość była modyfikowana 2012-04-16 21:03:03 przez agus

pm12
postów: 493
2012-04-16 20:49:16

agus, masz błąd w linijce 5. (nie licząc nr zadania)


agus
postów: 2387
2012-04-16 21:14:29

pm12

Dzięki, zauważyłam. Anulowałam rozwiązanie, bo Twoje jest poprawne.



agus
postów: 2387
2012-04-17 19:52:01

25.
l-tworząca stożka (promień wycinka kołowego)

$\frac{\frac{1}{2}a}{l}$=sin$\frac{\alpha}{2}$

l=$\frac{a}{2sin\frac{\alpha}{2}}$

r-promień podstawy stożka

2$\pi$r=$\frac{\alpha}{360}\cdot 2\pi l$

r=$\frac{\alpha}{360}$l=$\frac{\alpha}{360}\cdot$$\frac{a}{2sin\frac{\alpha}{2}}$

H-wysokość stożka

$H^{2}=l^{2}-r^{2}$=$\frac{a^{2}}{4sin^{2}\frac{\alpha}{2}}$(1-$\frac{\alpha^{2}}{360^{2}})$

H=$\frac{a}{2sin\frac{\alpha}{2}}$$\sqrt{(1-\frac{\alpha^{2}}{360^{2}}})$

V=$\frac{1}{3}\pi\cdot$$(\frac{\alpha}{360}\cdot$$\frac{a}{2sin\frac{\alpha}{2}})^{2}$$\cdot$$\frac{a}{2sin\frac{\alpha}{2}}$$\sqrt{(1-\frac{\alpha^{2}}{360^{2}}})$=$\frac{1}{3}\pi\cdot$$\frac{\alpha^{2}}{360^{2}}\cdot$$\sqrt{(1-\frac{\alpha^{2}}{360^{2}}})\cdot$$\frac{a^{3}}{8sin^{3}\frac{\alpha}{2}}$

Wiadomość była modyfikowana 2012-04-17 19:52:28 przez agus
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj