Geometria, zadanie nr 1836
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| bratola postów: 4 |  2012-05-25 18:49:35W trapezie ABCD, wpisanym w okrąg o promieniu 2, przekątna AC jest zawarta w dwusiecznej kąta BAD, a długość podstawy AD jest dwa razy większa od długości podstawy BC. Oblicz pole tego trapezu. |
| irena postów: 2636 | 2012-05-28 11:41:04 Trapez jest wpisany w okrąg, jest więc trapezem równoramiennym. Narysuj trapez równoramienny ABCD, poprowadź w nim przekątną AC. Kąty BAC i ACD są równe, bo są to kąty naprzemianległe. Kąty BAC i CAD są równe, bo AC to dwusieczna kąta BAD. Stąd- kąty DAC i CAD są równe i trójkąt ACD jest równoramienny, więc krótsza podstawa CD jest równa długości ramienia trapezu. Oznacz: $|CD|=|AD|=|BC|=a$ $|AB|=2a$ Poprowadź wysokość DE na podstawę AB. $|DE|=\frac{2a-a}{2}=\frac{1}{2}a$ W trójkącie prostokątnym AED przeciwprostokątna AD jest 2 razy dłuższa od przyprostokątnej AE, czyli kąt DAE ma miarę $60^0$ $cos(\angle DAE)=\frac{|AE|}{|AD|}=\frac{\frac{1}{2}a}{a}=\frac{1}{2}$ $|\angle DAE|=60^0$ Ponieważ AC jest dwusieczną kąta BAD, więc $|\angle BAD|=30^0$ i $|\angle ABC|=60^0$ , więc $|\angle ACB|=90^0$ Trójkąt ABC jest więc trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej AB. Bok AB jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. Okrąg opisany na trójkącie ABC to okrąg opisany na trapezie ABCD. Stąd: $|AB|=4$ I mamy; |AB|=4, |BC|=|CD|=|AD|=2 $\frac{h}{2}=sin60^0=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $h=\sqrt{3}$ $P=\frac{4+2}{2}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj