logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1865

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

supergosc4
postów: 11
2012-06-04 18:08:16

Zbadaj liczbę rozwiązań równania $a=\sqrt{2|x|-x^{2}} $w zależności od wartości parametru a .


irena
postów: 2636
2012-06-04 22:28:57

$\sqrt{2|x|-x^2}=a$

$x^2\le2|x|$

$x\in<;-2; 2>$

Narysuj parabolę o równaniu $y=-x^2+2x$ dla $x\in<;0; 2>$. Odbij tę część paraboli symetrycznie względem osi OY.
Otrzymasz wykres funkcji $y=-x^2+2|x|$.
Poszukuje się wspólnych punktów tego wykresu z prostą o równaniu $y=a^2$.
a musi być liczbą nieujemną.

Dla $a\in(-\infty; 0)\cup(1; \infty)$ równanie nie ma rozwiązań.

Dla $a=1$ równanie ma 2 rozwiązania.

Dla $a=0$ równanie ma 3 rozwiązania.

Dla $a\in(0;1)$ równanie ma 4 rozwiązania.

Wiadomość była modyfikowana 2012-06-05 10:05:34 przez irena

agus
postów: 2387
2012-06-04 22:58:28

2|x|-$x^{2}\ge0$
$x^{2}-2|x|\le0$

1)x$\ge$0
$x^{2}-2x\le0$
x(x-2)$\le0$

x$\in<0;2>$

2)x<0
$x^{2}+2x\le0$
x(x+2)$\le$0

x$\in <-2;0)$

a$\ge$0 (bo to pierwiastek kwadratowy)

$a^{2}=2|x|-x^{2}$

$x^{2}-2|x|+a^{2}=0$

1)$\triangle$=4-4$a^{2}>0$

4$a^{2}-4<0$
$a^{2}-1<0$
(a+1)(a-1)<0

biorąc pod uwagę założenie: a$\in (0;1)$

$x^{2}-2x+a^{2}=0$ x$\in<0;2>$
$x_{1}+x_{2}$=1
$x_{1}\cdot x_{2}=a^{2}$ (2 rozwiązania)

$x^{2}+2x+a^{2}=0$ x$\in<-2;0)$
$x_{1}+x_{2}$=-1
$x_{1}\cdot x_{2}=a^{2}$ (2 rozwiązania)

zatem, dla a$\in(0;1)$ równanie ma 4 rozwiązania

2)$\triangle$=4-4$a^{2}$=0

biorąc pod uwagę założenie: a=1 (równanie $x^{2}-2|x|+1=0$, czyli równania $x^{2}-2x+1=0 $ oraz $x^{2}+2x+1=0$; mają rozwiązania x=1, x=-1, czyli 2 rozwiązania)

3)$\triangle$=4-4$a^{2}$<0

biorąc pod uwagę założenie:a$\in(1;+\infty)$ (równanie nie ma rozwiązania)





Wiadomość była modyfikowana 2012-06-04 23:05:28 przez agus

supergosc4
postów: 11
2012-06-05 00:09:14

wyszło mi ,że 0 rozwiązań dla $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ oraz że dla 2 rozwiązań a $a\in {1,-1}$???
po narysowaniu funkcji $-x^2+2|x|$
wychodzi ,że (przyjmując $t=a^2$)
0 dla t>1
2 dla t={1} i t<0
3 dla t=0
4 dla 0>t>1
no to
0 dla -1<a>1
2 dla a=1 -1


irena
postów: 2636
2012-06-05 10:08:04

Liczba a jest równa wartości pierwiastka kwadratowego, musi być więc liczbą nieujemną. Jeśli a<0, to rozwiązań nie ma na pewno.


supergosc4
postów: 11
2012-06-05 18:05:36

czyli -2=$\sqrt{2|x|-x^2}$
będzie zawsze sprzeczne???


marcin2002
postów: 484
2012-06-05 18:30:28

tak, ponieważ pierwiastek drugiego stopnia jest zawsze liczbą dodatnią a -2 jest ujemne


agus
postów: 2387
2012-06-05 18:31:16

Tak, równanie jak wyżej jest sprzeczne.

a$\ge$0

Do mojego rozwiązania należy dodać jeszcze a=0

wtedy
$x^{2}-2|x|=0$
czyli
$x^{2}$-2x=0, x$\in<0;2>$
x(x-2)=0
rozwiązania: x=0,x=2
lub
$x^{2}+2x=0$,x$\in<-2;0)$
x(x+2)=0
rozwiązanie: x=-2

zatem, dla a=0 równanie ma 3 rozwiązania

Podsumowując:
a=0, 3 rozwiązania
a$\in(0,1)$, 4 rozwiązania
a=1, 2 rozwiązania
a$\in(1,+\infty)$, 0 rozwiązań

(a jest liczbą nieujemną)

Ponadto, rozwiązania równania należą do przedziału <-2,2>.


supergosc4
postów: 11
2012-06-06 18:27:22

a np. dla $m^2+||x-3||=3$
$m^2=3-||x-3|-3|$

czyli :
$0dla m^2 = (-\infty,3)$
$2 dla m^2 ={3}i(-\infty,0)$
$3 dla m^2 ={0}$
$4 dla m^2 =(0,3)$
więc $m=\sqrt{3-||x-3|-3|}$
$m^2<3$
$m^2-3<0$
$3>m>-3$
ale m>0
czyli że 0 dla m$(-\infty,0)(\sqrt{3},\infty)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj