Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1865

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
supergosc4 postów: 11	2012-06-04 18:08:16 Zbadaj liczbę rozwiązań równania $a=\sqrt{2\|x\|-x^{2}} $w zależności od wartości parametru a .

irena postów: 2636	2012-06-04 22:28:57 $\sqrt{2\|x\|-x^2}=a$ $x^2\le2\|x\|$ $x\in<;-2; 2>$ Narysuj parabolę o równaniu $y=-x^2+2x$ dla $x\in<;0; 2>$. Odbij tę część paraboli symetrycznie względem osi OY. Otrzymasz wykres funkcji $y=-x^2+2\|x\|$. Poszukuje się wspólnych punktów tego wykresu z prostą o równaniu $y=a^2$. a musi być liczbą nieujemną. Dla $a\in(-\infty; 0)\cup(1; \infty)$ równanie nie ma rozwiązań. Dla $a=1$ równanie ma 2 rozwiązania. Dla $a=0$ równanie ma 3 rozwiązania. Dla $a\in(0;1)$ równanie ma 4 rozwiązania. Wiadomość była modyfikowana 2012-06-05 10:05:34 przez irena

agus postów: 2387	2012-06-04 22:58:28 2\|x\|-$x^{2}\ge0$ $x^{2}-2\|x\|\le0$ 1)x$\ge$0 $x^{2}-2x\le0$ x(x-2)$\le0$ x$\in<0;2>$ 2)x<0 $x^{2}+2x\le0$ x(x+2)$\le$0 x$\in <-2;0)$ a$\ge$0 (bo to pierwiastek kwadratowy) $a^{2}=2\|x\|-x^{2}$ $x^{2}-2\|x\|+a^{2}=0$ 1)$\triangle$=4-4$a^{2}>0$ 4$a^{2}-4<0$ $a^{2}-1<0$ (a+1)(a-1)<0 biorąc pod uwagę założenie: a$\in (0;1)$ $x^{2}-2x+a^{2}=0$ x$\in<0;2>$ $x_{1}+x_{2}$=1 $x_{1}\cdot x_{2}=a^{2}$ (2 rozwiązania) $x^{2}+2x+a^{2}=0$ x$\in<-2;0)$ $x_{1}+x_{2}$=-1 $x_{1}\cdot x_{2}=a^{2}$ (2 rozwiązania) zatem, dla a$\in(0;1)$ równanie ma 4 rozwiązania 2)$\triangle$=4-4$a^{2}$=0 biorąc pod uwagę założenie: a=1 (równanie $x^{2}-2\|x\|+1=0$, czyli równania $x^{2}-2x+1=0 $ oraz $x^{2}+2x+1=0$; mają rozwiązania x=1, x=-1, czyli 2 rozwiązania) 3)$\triangle$=4-4$a^{2}$<0 biorąc pod uwagę założenie:a$\in(1;+\infty)$ (równanie nie ma rozwiązania) Wiadomość była modyfikowana 2012-06-04 23:05:28 przez agus

supergosc4 postów: 11	2012-06-05 00:09:14 wyszło mi ,że 0 rozwiązań dla $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ oraz że dla 2 rozwiązań a $a\in {1,-1}$??? po narysowaniu funkcji $-x^2+2\|x\|$ wychodzi ,że (przyjmując $t=a^2$) 0 dla t>1 2 dla t={1} i t<0 3 dla t=0 4 dla 0>t>1 no to 0 dla -1<a>1 2 dla a=1 -1

irena postów: 2636	2012-06-05 10:08:04 Liczba a jest równa wartości pierwiastka kwadratowego, musi być więc liczbą nieujemną. Jeśli a<0, to rozwiązań nie ma na pewno.

supergosc4 postów: 11	2012-06-05 18:05:36 czyli -2=$\sqrt{2\|x\|-x^2}$ będzie zawsze sprzeczne???

marcin2002 postów: 484	2012-06-05 18:30:28 tak, ponieważ pierwiastek drugiego stopnia jest zawsze liczbą dodatnią a -2 jest ujemne

agus postów: 2387	2012-06-05 18:31:16 Tak, równanie jak wyżej jest sprzeczne. a$\ge$0 Do mojego rozwiązania należy dodać jeszcze a=0 wtedy $x^{2}-2\|x\|=0$ czyli $x^{2}$-2x=0, x$\in<0;2>$ x(x-2)=0 rozwiązania: x=0,x=2 lub $x^{2}+2x=0$,x$\in<-2;0)$ x(x+2)=0 rozwiązanie: x=-2 zatem, dla a=0 równanie ma 3 rozwiązania Podsumowując: a=0, 3 rozwiązania a$\in(0,1)$, 4 rozwiązania a=1, 2 rozwiązania a$\in(1,+\infty)$, 0 rozwiązań (a jest liczbą nieujemną) Ponadto, rozwiązania równania należą do przedziału <-2,2>.

supergosc4 postów: 11	2012-06-06 18:27:22 a np. dla $m^2+\|\|x-3\|\|=3$ $m^2=3-\|\|x-3\|-3\|$ czyli : $0dla m^2 = (-\infty,3)$ $2 dla m^2 ={3}i(-\infty,0)$ $3 dla m^2 ={0}$ $4 dla m^2 =(0,3)$ więc $m=\sqrt{3-\|\|x-3\|-3\|}$ $m^2<3$ $m^2-3<0$ $3>m>-3$ ale m>0 czyli że 0 dla m$(-\infty,0)(\sqrt{3},\infty)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj