logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Inne, zadanie nr 1922

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pm12
postów: 493
2012-07-15 14:37:29

Wykaż, że jeśli $(1+\sqrt{2})^{100}$ = c + d$\sqrt{2}$, to NWD(c,d) = 1.


tumor
postów: 8070
2012-09-10 20:03:57

Na początek może indukcja
Zauważmy, że $(1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}$, oczywiście $NWD(2;3)=1$

A teraz załóżmy, że $x=a+b\sqrt{2}$ i $NWD(a;b)=1$
Wówczas $x*(1+\sqrt{2})=(a+b\sqrt{2})*(1+\sqrt{2})=(a+2b)+(a+b)\sqrt{2}$.
Prawdą jest, że $NWD(a+2b; a+b)=1$. W przeciwnym bowiem razie istniałaby liczba pierwsza $p$ taka, że $p|a+2b$ i $p|a+b$.
Ale wówczas $p|a+2b-a-b=b$ (bo jeśli dwie liczby mają ten sam dzielnik p, to także ich różnica jest przez p podzielna).
Również $p|a+b-b=a$
co jednak jest niemożliwe, bo NWD(a;b)=1.

(Pionową kreską oznaczyłem relację podzielności, n|m oznacza, że n jest dzielnikiem m)


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj