Inne, zadanie nr 1922
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
pm12 postów: 493 | 2012-07-15 14:37:29 Wykaż, że jeśli $(1+\sqrt{2})^{100}$ = c + d$\sqrt{2}$, to NWD(c,d) = 1. |
tumor postów: 8070 | 2012-09-10 20:03:57 Na początek może indukcja Zauważmy, że $(1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}$, oczywiście $NWD(2;3)=1$ A teraz załóżmy, że $x=a+b\sqrt{2}$ i $NWD(a;b)=1$ Wówczas $x*(1+\sqrt{2})=(a+b\sqrt{2})*(1+\sqrt{2})=(a+2b)+(a+b)\sqrt{2}$. Prawdą jest, że $NWD(a+2b; a+b)=1$. W przeciwnym bowiem razie istniałaby liczba pierwsza $p$ taka, że $p|a+2b$ i $p|a+b$. Ale wówczas $p|a+2b-a-b=b$ (bo jeśli dwie liczby mają ten sam dzielnik p, to także ich różnica jest przez p podzielna). Również $p|a+b-b=a$ co jednak jest niemożliwe, bo NWD(a;b)=1. (Pionową kreską oznaczyłem relację podzielności, n|m oznacza, że n jest dzielnikiem m) |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj