Geometria, zadanie nr 1956

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
annulka postów: 30	2012-09-18 17:31:07 1. Udowodnij, że w dowolnym czworokącie odcinki łączące środki przeciwległych boków dzielą się w punkcie przecięcia na połowy. Mógłby mi ktoś powiedzieć jak mam się zabrać za to zadanie? Zrobiłam rysunek, napisałam tezę i założenie, ale nie wiem jak mam zacząć dowód. Z góry dziękuję ;)

tumor postów: 8070	2012-09-18 18:00:35 Jak to w zadaniach geometrycznych, pewnie sposobów jest dużo. Narysuj czworokąt ABCD (wypukły), zaznacz środki boków, połącz środki SĄSIEDNICH boków (właśnie tych) i narysuj przekątne czworokąta ABCD. Przekątne są równoległe do odpowiednich odcinków łączących środki sąsiednich boków. Wynika to z podobieństwa trójkątów, na przykład trójkąt ABC jest podobny do trójkąta EBF (gdzie E jest środkiem AB, a F środkiem BC), przez to odcinek EF jest równoległy do AC. Analogicznie GH (gdzie G jest środkiem CD, H środkiem DA) jest równoległy do AC. Skoro dwa odcinki EF i GH są równoległe do tej samej przekątnej, to i do siebie, analogicznie z drugą przekątną i odcinkami równoległymi do niej. Zatem środki boków tworzą czworokąt EFGH który jest równoległobokiem, a w równoległoboku przekątne (bo o przekątne tej figury pytają w zadaniu) dzielą się na połowy. :) ---------- Dla czworokąta ABCD, który nie jest wypukły, rozumowanie przebiega identycznie, podobnie szukamy trójkątów podobnych i dochodzimy do równoległości, równoległoboku i w konsekwencji dzielenia przekątnych na połowy. :)

annulka postów: 30	2012-09-18 18:30:04 dziękuję, bardzo mi pomogłeś/ pomogłaś ;)

tumor postów: 8070	2012-09-18 19:31:43 O, albo inne rozwiązanie. Jak poprzednio czworokąt $ABCD$, środek $AB$ to $E$, $BC$ to $F$, $CD$ to $G$, $DA$ to $H$. Zauważmy, że wektor $\vec{EF}=\vec{EB}+\vec{BF}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{BC}=\frac{1}{2}\vec{AC}$ Podobnie $\vec{HG}=\vec{HD}+\vec{DG}=\frac{1}{2}\vec{AD}+\frac{1}{2}\vec{DC}=\frac{1}{2}\vec{AC}$ Czyli $\vec{EF}=\vec{HG}$ Rozumując analogicznie dostajemy $\vec{HE}=\vec{GF}$ Co jak poprzednio daje równoległobok, a przekątne równoległoboku dzielą się na połowy. Oczywiście ta argumentacja w zasadzie nie różni się od poprzedniej, jest tylko wyrażona w języku wektorów.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj