Geometria, zadanie nr 1961
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| bezradny postów: 3 |  2012-09-23 14:05:47W trójkącie ABC, w którym kąt A jest prosty, kreślimy koło styczne do boków BC i AC, mające środek na boku AB. Koło to przecina bok AB w punkcie M i jest styczne do przeciwprostokątnej w punkcie D. Wykaż, że jeżeli na przedłużeniu boku AC odłożymy CE, |CE| = |AC|, to punkty M, E, D leżą na jednej prostej. |
| tumor postów: 8070 | 2012-09-23 17:27:53 Rysujemy wszystko jak w opisie, żeby widzieć. Oznaczmy jeszcze środek koła przez $O$. $|AO|=|OD|=|OM|$, bo to promienie koła $|AC|=|CD|$, co wynika z powyższego i podobieństwa trójkątów $ACO$ i $DCO$. $|AC|=|CE|$, bo to mamy w treści zadania Oznaczmy kąt $OMD$ przez $\alpha$. Wówczas kąt $ODM=\alpha$ kąt $DOM=180^\circ - 2\alpha$ kąt $AOD=2\alpha$ kąt $ACD=180^\circ - 2\alpha$ kąt $DCE=2\alpha$ kąt $CED=\frac{1}{2}(180^\circ - 2\alpha)=90^\circ-\alpha$ Kąt $BAE$ jest prosty, czyli $ED$ jest równoległy do $MD$, a przecież kończą się w jednym punkcie, czyli leżą na jednej prostej. (Korzystaliśmy z następujących faktów: - kąty przyległe sumują się do kąta półpełnego - kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe - kąty wewnętrzne trójkąta sumują się do kąta półpełnego - kąty wewnętrzne czworościanu sumują się do kąta pełnego - styczna do okręgu jest prostopadłą do promienia okręgu wystawionego w punkcie styczności) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj