Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1972

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pacofaco postów: 11	2012-10-01 20:00:36 Czy suma i iloczyn dwóch liczb a i b jest liczbą wymierną? Rozważ różne przypadki wymierności a i b.

tumor postów: 8070	2012-10-01 20:31:34 1) $a,b$ wymierne Jeśli co najmniej jedna z nich jest $0$, to suma jest tą drugą liczbą (więc wymierna), iloczyn jest $0$ (więc wymierny). Jeśli obie są różne od $0$, czyli są postaci $a=\frac{x}{y}$ $b=\frac{p}{q}$ $a+b=\frac{xq+py}{yq}$ jest wymierna $ab=\frac{xp}{yq}$ jest wymierny 2) $a,b$ niewymierne Wówczas nie możemy z góry powiedzieć, jaka jest suma, jaki iloczyn np $\sqrt{2}+ (7-\sqrt{2})$ - suma wymierna $\sqrt{2}+\sqrt{2}$ - suma niewymierna $\sqrt{2}\sqrt{8}$ - iloczyn wymierny $\sqrt{2}\sqrt{3}$ - iloczyn niewymierny 3) $a$ wymierne, $b$ niewymierne jeśli $a=0$, to suma jest równa $b$ (czyli niewymierna), a iloczyn równy $0$, czyli wymierny. Jeśli $a\neq 0$, to suma jest niewymierna (bo gdyby suma była wymierna, to suma liczb wymiernych $(a+b)+(-a)=b$ też byłaby wymierna, o tym mówi przypadek pierwszy, a przecież $b$ nie jest wymierna). Jeśli $a\neq 0$, to iloczyn jest niewymierny (bo gdyby iloczyn był wymierny, to liczba $b=(ab):a=(ab)\frac{1}{a}$ byłaby wymierna jako iloczyn liczb wymiernych, o czym mówi przypadek pierwszy, a przecież $b$ nie jest wymierna). 4) symetryczny do 3)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj