Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1973

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
Szymon postów: 657	2012-10-02 16:13:06 1. Dane są odcinki o długości a i b. Skonstruuj odcinek c taki że : a) $c = \frac{ab}{a+b}$ b) $c = \frac{a^2}{2(a+b)}$ 2. Środki kolejnych boków trapezu równoramiennego połączono odcinkami. Udowodnij, że suma pól powstałych czterech trójkątów jest równa polu powstałego czworokąta. 3. Udowodnij, że jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z boków, to trójkąt ten jest prostokątny. Błagam o pomoc.

agus postów: 2387	2012-10-02 18:35:10 3. Jeśli środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z boków, to ten bok jest średnicą okręgu i zawiera się w ramionach kata środkowego o mierze 180 stopni. Trzeci wierzchołek trójkąta (który nie należy do końców średnicy) jest wierzchołkiem kąta wpisanego opartego na średnicy(półokręgu), zatem jest połową kąta 180 stopni i ma 90 stopni. (Korzystamy z własności kąta środkowego i wpisanego opartych na tym samym łuku, tutaj na półokręgu).

agus postów: 2387	2012-10-02 18:44:16 1. a)Po podzieleniu obu stron przez a $\frac{c}{a}=\frac{b}{a+b}$ Budujemy odcinek a+b Budujemy kąt. Na jednym ramieniu odkładamy od wierzchołka kąta odcinki a+b i b, a na drugim a. Łączymy koniec a+b z końcem a. Prowadzimy prostą równoległą do otrzymanego odcinka przechodzącą przez koniec b. Na tym samym ramieniu co a zostanie wyznaczony c. (W tym zadaniu korzystamy z twierdzenia Talesa)

agus postów: 2387	2012-10-02 18:49:18 1. b) Po podzieleniu obu stron przez a $\frac{c}{a}=\frac{a}{2(a+b)}$ Budujemy odcinek 2(a+b). Budujemy kąt.Na jednym ramieniu odkładamy od wierzchołka odcinki 2(a+b) i a ,na drugim a. Dalej postępujemy analogicznie jak w 1 a).

tumor postów: 8070	2012-10-02 18:50:17 Zadanie 2. Robimy rysunek i patrzymy. Powstały czworokąt jest rombem, czego dowodzimy przez fakt równoległości odpowiednich boków czworokąta z przekątnymi trapezu (z podobieństwa trójkątów, potem z symetrii figury). Skoro czworokąt ten jest rombem, to jego boki są równoległe i tej samej długości. Zatem możemy "skleić" te odcięte trójkąty, które leżą naprzeciw siebie (po przekątnej trapezu), tworząc w ten sposób trapezy podobne do wyjściowego w skali $\frac{1}{2}$. Ich pola są zatem czterokrotnie mniejsze od pola trapezu wyjściowego, a suma ich pól jest połową pola trapezu wyjściowego, co należało pokazać.

agus postów: 2387	2012-10-02 19:00:03 2. Po połączeniu środków kolejnych boków trapezu równoramiennego otrzymamy romb (z twierdzenia Talesa wynika, że każdy z boków otrzymanego czworokąta jest równy połowie przekątnej trapezu równoramiennego- zatem ten czworokąt ma równe boki). Krótsza przekątna rombu jest równa wysokości trapezu h, a dłuższa jest równa połowie sumy podstaw $\frac{1}{2}$(a+b). Pole trapezu wynosi $\frac{1}{2}$(a+b)h, pole rombu $\frac{1}{4}$(a+b)h, zatem suma pól trójkątów także $\frac{1}{4}$(a+b)h, czego mieliśmy dowieść.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj