Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1974

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
Szymon postów: 657	2012-10-02 16:28:08 1. W sześcianie o krawędzi długości a ścięto każde "naroże" płaszczyzną przechodzącą przez środki trzech krawędzi zbiegających się w tym narożu. Oblicz objętość powstałej bryły. 2. Dla jakiej wartości a wartość liczbowa wyrażenia $\frac{a}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{3}$ jest liczbą wymierną ?? 3.Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n, liczby $n, n^5, n^9, n^{13}, n^{17},$... mają jednakowe cyfry jedności.

tumor postów: 8070	2012-10-02 17:21:25 Zadanie 1. Sześcian ma objętość $a^3$. Każde naroże to ostrosłup. Jego pole podstawy to $\frac{1}{8}a^2$, natomiast jego wysokość wynosi $\frac{1}{2}a$. Objętość 8 takich ostrosłupów to $8\frac{1}{3}\frac{1}{8}a^2*\frac{1}{2}a=\frac{1}{6}a^3$ Zatem pole pozostałej po odcięciu bryły wynosi $\frac{5}{6}a^3$

tumor postów: 8070	2012-10-02 17:51:51 Zadanie 3. Wszystkie potęgi (wykładnik naturalny dodatni) liczby zakończonej na $0$ kończą się na $0$. Analogicznie z liczbami zakończonymi na $1,5,6$. Skoro wszystkie, to i wymienione. :) Zauważ, że ostatnią cyfrą $n^4$ dla liczb $n$ kończących się cyfrą $2,4,8$ jest zawsze $6$. Jeśli zaś liczbę zakończoną na $2,4,8$ wymnożymy przez liczbę zakończoną na $6$, to ostatnia cyfra się nie zmieni, będzie odpowiednio $2,4,8$. Jeśli natomiast $n$ jest zakończone na $3,7$ lub $9$, to $n^4$ zakończone jest na $1$. Wymnożenie liczby zakończonej na $3,7,9$ przez liczbę zakończoną na $1$ oczywiście nie zmienia ostatniej cyfry. Wiadomość była modyfikowana 2012-11-05 19:53:21 przez Mariusz Śliwiński

tumor postów: 8070	2012-10-02 18:03:06 Zadanie 2. Zauważmy, że każde $a$ można zapisać tak: $a=x(\sqrt{3}-1)+\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)$ (Prawa strona to przecież rosnąca funkcja liniowa, czyli przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.) W zadaniu pytają o liczbę $\frac{a}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{3}= \frac{x(\sqrt{3}-1)+\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{3}=x$ Zatem potrzeba i wystarcza, żeby liczba $x$ była wymierna. Zatem $a=x(\sqrt{3}-1)+\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)=(x+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})$ dla dowolnej liczby wymiernej $x$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj