Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1975

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
Szymon postów: 657	2012-10-02 16:34:01 1.Liczba naturalna n jest co najmniej trzycyfrowa. Jeżeli pomiędzy cyfrę setek a cyfrę dziesiątek tej liczby wpiszemy znak mnożenia, to po wykonaniu mnożenia otrzymamy połowę liczby n. Wyznacz wszystkie liczby n o tej własności. 2.W balu wzięło udział 102 królewiczów i 103 królewny. Po balu okazało się, że każdy królewicz zatańczył z taką samą liczbą królewien. Udowodnij, że pewne dwie królewny zatańczyły z taką samą liczbą królewiczów. 3.W ostrosłup SABCD, którego podstawą jest czworokąt wypukły ABCD, można wpisać sferę. Udowodnij, że $\angle{ASB} + \angle{CSD} = \angle{BSC} + \angle{DSA}$.

tumor postów: 8070	2012-10-02 18:14:23 Zadania z trwającej OM Rozwiązanie zostanie przywrócone po konkursie //-------------------------------------------- Zadanie 2. Załóżmy, że możliwa była sytuacja, że każda królewna zatańczyła z inną liczbą królewiczów. By to było możliwe, jedna nie tańczyła z żadnym, jedna tańczyła z jednym, jedna tańczyła z dwoma, jedna z trzema,..., jedna ze wszystkimi. Ogółem zatem królewny zatańczyły $0+1+2+3+...+102$ razy (nie liczymy tu dublowania tej samej pary) Ilość tańców to $\frac{102103}{2}$ Bez liczenia widzimy, że ta ilość nie daje się podzielić równo na 102 królewiczów. Czyli błędne było początkowe założenie, że każda królewna tańczyła z inną liczbą królewiczów. Zadanie 1. Liczbę $n$ możemy zapisać jako $100a+b$, gdzie $a,b$ naturalne, $a>0$, $b<100$. Z treści wiemy, że $ab=\frac{n}{2}$ Czyli $100a+b=2ab$ $100a=b(2a-1)$ Zauważmy, że $NWD(a, 2a-1)=1$ Zatem liczba nieparzysta $2a-1$ musi być dzielnikiem $100$. Dla $2a-1=1$, mamy $a=1$, $b=100$, co nie spełnia naszych założeń. Dla $2a-1=5$ mamy $a=3$, $b=60$, co jest ok Dla $2a-1=25$ mamy $a=13$, $b=52$, co jest ok. Zatem otrzymujemy liczby $360$ i $1352$. Wiadomość była modyfikowana 2012-11-05 19:56:56 przez Mariusz Śliwiński

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj