Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1976
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| Szymon postów: 657 |  2012-10-02 16:35:28Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n, dla których liczba $n^3-7n$ jest kwadratem liczby całkowitej. |
| tumor postów: 8070 | 2012-10-02 20:30:49 zadanie z OM rozwiązanie zostanie przywrócone po konkursie. //----------------------------------------------- Niech $ord(n,p)=x$ oznacza, że $p^x$ dzieli $n$, ale $p^{x+1}$ nie dzieli $n$, dla liczby naturalnej $n$, liczby pierwszej $p$. Zauważmy, że dla liczby pierwszej $p$ i liczby naturalnej dodatniej $n$, liczby $ord(n^2-7,p)$, $ord(n,p)$ są jednocześnie parzyste lub jednocześnie nieparzyste, by iloczyn $n(n^2-7)$ był kwadratem. Jeśli $p$ pierwsze i $ord(n,p)$ nieparzyste, to $p$ dzieli $n$, $p$ dzieli $n^2$ i aby $ord(n^2-7,p)$ było nieparzyste, p musi dzielić $n^2-7$, czyli $p$ dzieli $7$, czyli $p=7$. W pozostałych przypadkach $ord(n,p)$ dla pierwszego $p$ jest parzyste, zatem i $ord(n^2-7,p)$ jest parzyste. Oznacza to, że albo $n$ i $n^2-7$ są obie kwadratami, albo obie są iloczynami kwadratu i liczby $7$. a) obie są kwadratami. Oczywiście $n^2$ jest też kwadratem. Tylko $16$ i $9$ są kwadratami różniącymi się o $7$. Czyli $n^2=16$, $n=4$, $n^2-7=9$. b) obie są iloczynami kwadratu i liczby $7$. $n=7k^2$ $n^2-7=7s$ $s$ musi być kwadratem Rozważmy równanie $n^2-7(1+s)=0$ $delta=4*7*(1+s)$ $s+1$ musi być podzielne przez $7$, żeby dało się policzyć pierwiastek z $delty$ i żeby równanie miało w ogóle rozwiązanie całkowite. $s$ musi być kwadratem. Czy te warunki są jednocześnie możliwe? Każda liczba naturalna daje się zapisać jako $7a+b$, gdzie $a,b$ naturalne, $b<7$. Wówczas kwadrat tej liczby to $(7a+b)^2=7(7a^2+2ab)+b^2$ Czyli $b^2+1$ ma być podzielne przez $7$, dla jakiegoś $b=0,1,2,3,4,5,6$, co nie zachodzi. Ten wymęczony sposób (nie chce mi się myśleć nad skracaniem) mówi, że poza $n=4$ rozwiązań nie ma. Wiadomość była modyfikowana 2012-11-05 19:54:19 przez Mariusz Śliwiński |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj