logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Geometria, zadanie nr 1984

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

daro3
postów: 2
2012-10-05 14:49:05

Odcinki AD i BE są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC. Po zewnętrznej stronie trójkąta ABC zbudowano kwadrat ABKL oraz prostokąty BDMN i AEPQ, przy czym BN = BC oraz AQ = AC.
Udowodnij, że suma pól prostokątów BDMN i AEPQ jest równa polu kwadratu ABKL.


tumor
postów: 8070
2012-10-05 17:32:00

Rozwiązanie zostanie przywrócone po konkursie.
//---------------------------------------------

Rysujemy.
(nie chce mi się pisać wszędzie pionowych kresek, poniżej wszędzie mam na myśli długości odcinków)

Zauważmy, że $\frac{CE}{BC}=\frac{CD}{CA}=\cos\alpha$
gdzie $\alpha$ jest kątem przy $C$.

W związku z powyższym równaniem mamy
$CE*CA=BC*CD$
$CE*CA-BC*CD=0$

Z Twierdzenia Pitagorasa mamy, że
$AB*AB=BD*BD+AD*AD=BD*BD+AC*AC-CD*CD=
BD*BC-BC*CD+AC*AE+CE*CA=BD*BC+AC*AE+0$

Zauważmy, że prawa strona równa jest polu prostokątó w, a lewa polu kwadratu. :)


Wiadomość była modyfikowana 2012-11-05 19:59:21 przez Mariusz Śliwiński
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj