logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Planimetria, zadanie nr 1998

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

fiukowa
postów: 41
2012-10-10 14:37:24

Dany jest trapez ABCD.Poprowadzono w nim przekątne AC i BD, które przecięły się w punkcie S i podzieliły go na 4 trójkąty. Wiedząc, że pole trójkąta CSD wynosi P, a pole trójkata do niego podobnego ABS wynosi P*k^2 gdzie k to skala podobieństwa, uzasadnij, że pola trójkatów ADS i BCS są równe i wynoszą P*k.


tumor
postów: 8070
2012-10-10 17:25:47

Wysokość trójkąta $CSD$ oznaczmy $h$, a jego podstawę $CD$ oznaczmy $a$.

$P=\frac{ah}{2}$

Trójkąt $ABS$ ma podstawę długości $ka$, a wysokość długości $kh$.

Pole trapezu to
$\frac{a+ak}{2}(h+hk)=\frac{a(1+k)}{2}h(1+k)=\frac{ah}{2}(1+k)^2=P(1+2k+k^2)=P+2kP+k^2P$
Z tego $P$ i $k^2P$ to pola z treści zadania, czyli na pola pozostałych trójkątów przypada pozostałe $2kP$.

Zauważmy, że trójkąty $ACD$ i $BCD$ mają tę samą podstawę i tę samą wysokość. Zatem i równe pola. $ASD$ powstaje przez odjęcie od $ACD$ trójkąta $CSD$, natomiast $BSC$ powstaje przez odjęcie od $BCD$ trójkąta $CSD$, czyli pola $ASB$ i $BSC$ są równe, a skoro w sumie mają $2kP$, to każdy z trójkątów oddzielnie ma pole $kP$.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj