Planimetria, zadanie nr 1998
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
fiukowa postów: 41 | 2012-10-10 14:37:24 Dany jest trapez ABCD.Poprowadzono w nim przekątne AC i BD, które przecięły się w punkcie S i podzieliły go na 4 trójkąty. Wiedząc, że pole trójkąta CSD wynosi P, a pole trójkata do niego podobnego ABS wynosi P*k^2 gdzie k to skala podobieństwa, uzasadnij, że pola trójkatów ADS i BCS są równe i wynoszą P*k. |
tumor postów: 8070 | 2012-10-10 17:25:47 Wysokość trójkąta $CSD$ oznaczmy $h$, a jego podstawę $CD$ oznaczmy $a$. $P=\frac{ah}{2}$ Trójkąt $ABS$ ma podstawę długości $ka$, a wysokość długości $kh$. Pole trapezu to $\frac{a+ak}{2}(h+hk)=\frac{a(1+k)}{2}h(1+k)=\frac{ah}{2}(1+k)^2=P(1+2k+k^2)=P+2kP+k^2P$ Z tego $P$ i $k^2P$ to pola z treści zadania, czyli na pola pozostałych trójkątów przypada pozostałe $2kP$. Zauważmy, że trójkąty $ACD$ i $BCD$ mają tę samą podstawę i tę samą wysokość. Zatem i równe pola. $ASD$ powstaje przez odjęcie od $ACD$ trójkąta $CSD$, natomiast $BSC$ powstaje przez odjęcie od $BCD$ trójkąta $CSD$, czyli pola $ASB$ i $BSC$ są równe, a skoro w sumie mają $2kP$, to każdy z trójkątów oddzielnie ma pole $kP$. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj