Liczby rzeczywiste, zadanie nr 2015

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pacofaco postów: 11	2012-10-16 16:22:53 Zbadaj różnowartościowość funkcji: A. $f(x)= \frac{3x-2}{6x+3}$ B. $f(x)=\sqrt{\|x\|-3}$ Bardzo proszę w miarę możliwości o wyjaśnienie kolejnych kroków zadania.

tumor postów: 8070	2012-10-16 17:25:43 a) $ \frac{3x-2}{6x+3}=\frac{3x+1,5-3,5}{6x+3}=\frac{1}{2}-\frac{3,5}{6x+3}$ Oczywiście jeśli $x_1 \neq x_2$, to ${6x_1+3} \neq {6x_2+3}$ $\frac{3,5}{6x_1+3} \neq \frac{3,5}{6x_2+3}$ $\frac{1}{2}-\frac{3,5}{6x_1+3}\neq \frac{1}{2}-\frac{3,5}{6x_2+3}$ $f(x_1) \neq f(x_2)$ Czyli jest różnowartościowa. (Zresztą funkcje homograficzne mają to często :P)

pacofaco postów: 11	2012-10-16 17:30:02 nie rozumiem

tumor postów: 8070	2012-10-16 17:34:25 Ja rozumiem. Mogę zadanie rozwiązać albo odpowiedzieć na konkretne, rozsądnie zadane pytania. Władzy zsyłania objawień nie mam, póki nie jestem bogiem. b) Wiemy chyba, że $\|x\|=\|-x\|$ Zatem $\sqrt{\|x\|-3}=\sqrt{\|-x\|-3}$ czyli $f(x)=f(-x)$ Jest to funkcja parzysta, nie jest różnowartościowa w swojej naturalnej dziedzinie. Trzeba by pociąć dziecinę, jeśli byśmy chcieli z tego zrobić funkcję różnowartościową. Tu także można uogólnić, jeśli $g(x)$ nie jest różnowartościowa, a $h(x)$ jest jakakolwiek, to $h\circ g(x)=h(g(x))$ nie jest różnowartościowa (oczywiście gdy zachodzą wszystkie potrzebne warunki dla sensownego składania). W szczególności jeśli $g(x)$ jest parzysta, to złożenie takie jest funkcją parzystą.

pacofaco postów: 11	2012-10-16 18:55:48 Czy moje rozumowanie jest poprawne: Funkcja jest różnowartościowa wtedy, gdy argumenty a i b są sobie równe oraz wartości im odpowiadające również są tożsame. Czyli funkcja jest różnowartościowa wtedy gdy, nie zachodzi równość argumentów a i b oraz tym samym nie zachodzi równość wartości odpowiadających danym argumentom. Funkcja nie jest różnowartościowa, czyli jest równowartościowa, jeżeli argumenty a i b nie są sobie równe, ale wartości im odpowiadające są tożsame. Odnosząc się do powyższego zadania: $f(x)= \frac{3x-2}{6x+3}$ Krok pierwszy - bierzemy dwie dowolne liczby a i b należące do dziedziny danej funkcji. Krok drugi - zakładamy, że wartości jakie przyjmuje dana funkcja dla tych argumentów (a i b) są sobie równe, czyli $f(a) = f(b)$ Krok trzeci - podstawiamy nasze argumenty a i b pod wzór funkcji, która nas interesuje $\frac{3a-2}{6a+3} = \frac{3b-2}{6b+3}$ Przekształcamy: $12ab + 9a - 12b -6 = 12ab -12a + 9b -6$ $21a = 21b$ $a=b$ Skoro przy założeniu, że wartości funkcji f(a) oraz f(b) są sobie równe, argumenty im odpowiadające również są sobie równe -> a=b to możemy stwierdzić, że zostały spełnione warunki w jakich zachodzi różnowartość funkcji tj. $f(a) = f(b) \Rightarrow a=b $

tumor postów: 8070	2012-10-16 20:05:00 Funkcja jest różnowartościowa, jeśli różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości. CZYLI jeśli z $a\neq b$ wynika $f(a)\neq f(b)$ CZYLI jeśli z $f(a)=f(b)$ wynika $a=b$ W przypadkach powyżej mamy implikacje tylko w jedną stronę. Jeśli bowiem argumenty są równe, to wartości też będą równe, a jeśli wartości są różne, to argumenty musiały być różne. To oczywistości nic nie wnoszące do naszych twierdzeń. :) Rozumowanie jakie przedstawiasz dla przykładu jest dobre. Jeśli z równości wartości funkcji wynika równość argumentów, jaką pokazujesz, mamy funkcję różnowartościową. Ja w moim rozwiązaniu wyżej użyłem sformułowania równoważnego. Skoro $a\neq b$, to $6a\neq 6b$ i tak dalej, aż do $f(a)\neq f(b)$.

pacofaco postów: 11	2012-10-16 23:36:43 a jak to będzie wyglądało w takim przypadku: O. $f(x)= \frac{x^2}{x-3}$ P. $f(x)= \frac{2x-3}{x-4}$

tumor postów: 8070	2012-10-17 17:59:36 Możesz robić tak, jak robiłeś. $\frac{a^2}{a-3}=\frac{b^2}{b-3}$ $a^2b-3a^2=ab^2-3b^2$ $a^2b-3a^2-ab^2+3b^2=0$ $ab(a-b)-3(a-b)(a+b)=0$ $(a-b)(ab-3(a+b))=0$ $(ab-3(a+b))=0$ $a(b-3)=3b$ $a=\frac{3b}{b-3}$ Weźmy jakiekolwiek (możliwe) $b$, na przykład $4$. Wtedy $a=12$. $f(4)=f(12)$, czyli różnowartościowa nie jest. I słowo wyjaśnienia. Gdyby $(ab-3(a+b))=0$ nie miało rozwiązań (wiemy, że ma, ale załóżmy, że jest inaczej), to żeby $(a-b)(ab-3(a+b))=0$ musiałoby być prawdą że $a-b=0$. Czyli $a=b$. To by znaczyło, że jest różnowartościowa. A my w ramach kolejnych przekształceń doszliśmy do wniosku, że może być $(a-b)(ab-3(a+b))=0$ nawet jeśli $(a-b)\neq 0$, bo udało nam się znaleźć takie $a$ i $b$, żeby to drugi czynnik się wyzerował. ------- Wyżej miałeś sposób ścisły. Natomiast gdy robisz zadanie, dobrze się zastanowić, co ma wyjść (bo czasem zrobi się błąd w liczeniu, lepiej się pilnować). Gdy $x$ jest nieco tylko większy od $3$, to $f(x)$ jest ogromne (licznik jest bliski $9$, a mianownik jest bliski $0$). Gdy $x=4$, to $f(x)=16$. Idąc dalej $f(6)=12$, $f(100)>100$. Korzystamy tu z ciągłości, która na wykresie odpowiada możliwości narysowania wykresu bez odrywania ołówka od papieru. w $x=3$ funkcja się przerywa, ale byliśmy cały czas na prawo od $3$, gdzie jest ciągła. Najpierw ma wartości duże, potem maleją do $12$ (a może i bardziej, nieistotne), potem prędzej czy później wartości znów rosną i stają się duże. Jeśli funkcja ciągła maleje i rośnie, albo rośnie i maleje, to już nie może być różnowartościowa. :)

tumor postów: 8070	2012-10-17 18:04:45 $ \frac{2a-3}{a-4}=\frac{2b-3}{b-4}$ $(2a-3)(b-4)=(2b-3)(a-4)$ $-8a-3b=-8b-3a$ $5b=5a$ $b=a$ Tu dużo szybciej doszliśmy, że jest różnowartościowa. Przy tym funkcje $\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}$ nazywamy homograficznymi. Jeśli $a_1b_2-a_2b_1\neq 0$, to taka funkcja na pewno jest różnowartościowa. Najlepiej pokazać dowód tego twierdzenia raz, a potem mieć z głowy wszystkie takie funkcje :P.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj