Geometria, zadanie nr 2075

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sinister postów: 9	2012-10-31 14:10:02 W danym okręgu punkt A jest środkiem łuku BC i dwie dowolne cięciwy AD, AE przecinają cięciwę BC w punktach B1 i C1. Wykaż, że wówczas na czworokącie B1C1ED można opisać okrąg.

tumor postów: 8070	2012-10-31 15:57:49 Rysujemy sobie ładnie. Zakładam, że nie jest średnicą $AE$ i nie jest średnicą $AD$. Jeśli któryś odcinek nią jest, to nie trzeba wykonywać kroku z tworzeniem $F$. :) $F$ niech będzie taki, żeby $AF$ było średnicą, $F_1$ to punkt przecięcia tej średnicy z $BC$. Skoro $A$ jest w połowie łuku $BC$, to $AF$ jest prostopadła do $BC$, natomiast trójkąt $ADF$ jest prostokątny. Zatem podobne są trójkąty $AB_1F_1$ i $ADF$. Zatem kąt $DFA$ jest równy kątowi $AB_1C_1$. Kąt $DEA$ jest taki sam jak $DFA$, bo to kąty wpisane oparte na tym samym łuku. $AB_1C_1+DB_1C_1=180^\circ$ jako kąty przyległe, czyli $DEA+DB_1C_1=180^\circ$, co jest warunkiem koniecznym i wystarczającym, by na czworokącie $B_1C_1ED$ opisać okrąg. Uwaga. Jeśli ktoś sobie bardzo inaczej niż ja rozmieścił na rysunku wierzchołki, to wygodniej będzie zamienić rolami $E$ i $D$. Rozumowania to nie zmienia, a ogranicza mętlik czytającego.

agus postów: 2387	2012-10-31 16:09:16 Wykonaj rysunek do zadania. Poprowadź odcinki BC,AE,AD oraz EB,EC,ED,DB,DC. Oznaczmy kąty: EBC literą x, BCD literą y, CED literą b, BDE literą c BEC i BDC literą a (kąty wpisane oparte na łuku BC) BE$B_{1},B_{1}EC,BDC_{1},C_{1}DC wynoszą \frac{1}{2}a $ Na rysunku mamy czworokąt BCDE wpisany w okrąg. Zatem x+a+c=y+a+b=$180^{0}$ () Kąt E$B_{1}C$jest katem zewnętrznym trójkąta EB$B_{1}$, więc jest równy sumie kątów trójkąta do niego nie przyległych: x+$\frac{1}{2}a$. Kąt D$C_{1}$B jest katem zewnętrznym trójkąta DC$C_{1}$, więc jest równy sumie kątów trójkąta do niego nieprzyległych: y+$\frac{1}{2}a$. Sumy kątów przeciwległych czworokąta E$B_{1}C_{1}$D wynoszą: x+$\frac{1}{2}a$+c+$\frac{1}{2}a$=x+a+c oraz y+$\frac{1}{2}a$+b+$\frac{1}{2}a$=y+a+b i sumy te są równe sobie i $180^{0}$ ze względu na () Wobec tego na czworokącie E$B_{1}C_{1}$D można opisać okrąg. Wiadomość była modyfikowana 2012-10-31 17:50:02 przez agus

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj