Indukcja matematyczna, zadanie nr 2201

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
primrose postów: 62	2012-11-27 18:48:05 Udowodnij: $ 10^{3n+1} + 3\cdot(-1)^{n} \| 13 $ Z góry dziękuję.

tumor postów: 8070	2012-11-27 20:17:06 Własność wygląda mocno wątpliwie, rozsądniej będzie: $13\|10^{3n+1}+3\cdot (-1)^n$ Sprawdzamy dla $n=0$, mamy $13\|13$ czyli działa. Wzór się trochę różni, więc udowodnimy oddzielnie dla parzystych i nieparzystych (można to złożyć i razem robić, ale będzie chyba mniej czytelnie). Załóżmy, że $n$ jest parzyste i $13\|10^{3n+1}+3$ Wtedy oczywiście $13\|1000(10^{3n+1}+3)$ $13\|10^{3n+1+3}+3000$ $13\|10^{3(n+1)+1}+3003-3$ A skoro liczba $3003$ jest podzielna przez $13$, to także $13\|10^{3(n+1)+1}-3$ Załóżmy, że $n$ jest nieparzyste i $13\|10^{3n+1}-3$ Wtedy $13\|1000(10^{3n+1}-3)$ $13\|10^{3(n+1)+1}-3003+3$ $13\|10^{3(n+1)+1}+3$

primrose postów: 62	2012-11-27 20:39:18 A czy mógłbyś udowodnić to dla parzystych i nieparzystych w jednym działaniu? Ale i tak wielkie dzięki za rozwiązanie powyżej :)

tumor postów: 8070	2012-11-27 20:58:17 Zakładamy $13\|10^{3n+1}+3(-1)^n$ wtedy $13\|1000(10^{3n+1}+3(-1)^n)$ $13\|10^{3n+1+3}+3000(-1)^n$ $13\|10^{3(n+1)+1}+3003(-1)^n+3(-1)^{n+1}$ a skoro $3003$ jest podzielne przez $13$, to $13\|10^{3(n+1)+1}+3(-1)^{n+1}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj