Funkcje, zadanie nr 2259

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
knapiczek postów: 112	2012-12-10 16:20:48 zbadać różnowartościowość funkcji w podanych przedziałach: 1.f(x)=2x-1 x\inR f(x)=x^{4} x\inR f(x)=x^{4} x\in<-\infty,0>

tumor postów: 8070	2012-12-10 16:54:51 1. $f(x)=2x-1$ dla $x\in R$ $x_1\neq x_2 \Rightarrow 2x_1 \neq 2x_2 \Rightarrow 2x_1-1 \neq 2x_2-1 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$ różnowartościowa

tumor postów: 8070	2012-12-10 16:55:42 2. $f(x)=x^{4}$ dla $x\in R$ $1^4=(-1)^4$ nie jest różnowartościowa

tumor postów: 8070	2012-12-10 16:59:30 3. $f(x)=x^{4}$ dla $x\in<-\infty,0>$ $x_1>x_2 \Rightarrow x_1=x_2+\epsilon$ $\epsilon>0$ $f(x_1)-f(x_2)=(x_2+\epsilon)^4 - x_2^4=4x_2^3\epsilon+6x_2^2\epsilon^2+4x_2\epsilon^3+\epsilon^4>0$ rosnąca, zatem różnowartościowa

knapiczek postów: 112	2012-12-10 22:37:16 mógłbyś mi dokładniej wyjaśnić dlaczego w przykładzie 2 nie jest różnowartościowa?

tumor postów: 8070	2012-12-10 22:52:06 Funkcja różnowartościowa to taka, która różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości. Czyli $x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$ Równoważnie można to sformułować tak $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1= x_2$ Zatem żeby pokazać różnowartościowość trzeba działać na zmiennych $x_1$, $x_2$. Natomiast by pokazać, że funkcja różnowartościowa nie jest, wystarczy pokazać jeden kontrprzykład. Czyli różne $x_1, x_2$ dla których jednak $f(x_1)=f(x_2)$. I właśnie $x_1=1, x_2=-1$, oczywiście to różne liczby, ale $f(x_1)=1=f(x_2)$. Czyli nie jest spełniony warunek różnowartościowości. W przypadku tej funkcji można było wziąć dowolną parę liczb przeciwnych. Na przykład $5$ i $-5$ lub $5712$ i $-5712$. Liczby przeciwne mają wszak identyczną czwartą potęgę. ----------------- I jeszcze jedna rzecz może wymagać wzmianki. W innych zadaniach używam monotoniczności by pokazać różnowartościowość. Bo oczywiście jeśli $x_1\neq x_2$, to jedna z tych liczb (jesteśmy w $R$) jest większa, możemy uznać, że $x_1>x_2$. Jeśli funkcja jest monotoniczna, to dostaniemy $f(x_1)>f(x_2)$ lub $f(x_1)<f(x_2)$, ale każdy z tych warunków oznacza przecież, że $f(x_1)\neq f(x_2)$. Innymi słowy funkcja (silnie) monotoniczna jest różnowartościowa.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj