Granica funkcji, zadanie nr 2308
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| knapiczek postów: 112 |  2012-12-17 17:51:18\lim_{x \to 1-}e^{\frac{1}{1-x^{3}}} \lim_{x \to 1+}e^{\frac{1}{1-x^{3}}} \lim_{x \to 0}(1-3x)^{\frac{1}{x}} |
| tumor postów: 8070 | 2012-12-17 17:56:06 $ \lim_{x \to 1-}e^{\frac{1}{1-x^{3}}}=\infty$ wykładnik jest dodatni i dąży do $\infty$ $\lim_{x \to 1+}e^{\frac{1}{1-x^{3}}}=0$ wykładnik jest ujemny i dąży do $-\infty$ |
| knapiczek postów: 112 | 2012-12-17 18:01:50 mógłbyś, że tak powiem bardziej rozwinąć temat? z czego to wynika? |
| tumor postów: 8070 | 2012-12-17 18:13:10 Przecież właśnie bardziej rozwinąłem. :P Piszesz granice jednostronne. Gdy piszesz $1-$, to mówisz, że $x$ jest coraz bliższy liczbie $1$, ale stale od niej mniejszy. Czyli $1-x^3$ jest liczbą dodatnią, czyli $\frac{1}{1-x^3}$ jest liczbą dodatnią. Ale w miarę jak $x$ zbliża się do $1$, mianownik tego ułamka coraz bliższy jest liczbie $0$. Czyli ułamek rośnie. Rośnie nieograniczenie do nieskończoności (a wyrazy ma dodatnie, zatem do +nieskończoności). Analogicznie dla $1+$. $x$ jest coraz bliższy $1$, ale jest większy od $1$. Czyli $1-x^3$ jest liczbą ujemną, czyli $\frac{1}{1-x^3}$ jest ujemnym ułamkiem o mianowniku zbliżającym się do 0, czyli cały wykładnik biegnie ku -nieskończoności. $ \lim_{x \to 0}(1-3x)^{\frac{1}{x}}$ $(1-3x)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}ln(1-3x)}$ Policzymy oddzielnie $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}ln(1-3x)= \lim_{x \to 0}\frac{ln(1-3x)}{x}=...$ korzystamy z reguły de l'Hospitala $\lim_{x \to 0}\frac{-3}{(1-3x)}=-3$ $ \lim_{x \to 0}(1-3x)^{\frac{1}{x}}=e^{-3}$ ---- Przy tym $\lim_{x \to 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e}$ Można korzystając z tej granicy policzyć $\lim_{x \to 0}(1-3x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0}(1-3x)^{\frac{1}{3x}*3}=\frac{1}{e^3}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj