Planimetria, zadanie nr 2567

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
primrose postów: 62	2013-02-24 15:12:54 Oblicz pole zacieniowanego obszaru. Z góry dziękuję za pomoc :)

naimad21 postów: 380	2013-02-24 19:25:46 W końcu jakieś fajne zadanko ;) Na początku dorysowałbym odcinek łączący dwa punkty na które padają te promienie, tak że powstają dwa trójkąty, mam nadzieje, że wiesz o co mi chodzi ;) Po lewej stronie mamy trójkąt równoramienny o bokach 6,6 (promienie) i podstawie nieznanej, która możemy obliczyć z funkcji trygonometrycznych, albo ze wzoru na przekątną kwadratu, ponieważ jak zauważamy mamy podany kąt 90 stopni przy wierzchołku łączącym dwa równe boki trójkąta, wiec kąty przy podstawie mają po 45 stopni. Podstawa tego trójkąta wychodzi $6\sqrt{2}$. Jest ona zarazem podstawą trójkąta o ramionach $2\sqrt{6}$, który jest zawarty w mniejszym okręgu. Mając podane boki trójkąta możemy wyznaczyć kąt zawarty np. miedzy połową podstawy a jednym z boków (ponieważ wysokość tego trójkąta opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części, wynika to z własności trójkąta równoramiennego). Czyli $cos\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \alpha=30$. Zatem mamy trójkąt o kątach 30,30,120 stopni. Aby obliczyć pole tego obszaru najpierw trzeba obliczyć sumę pól tych dwóch trójkątów. Trójkąt po lewej stronie to połowa kwadratu o boku 6, czyli pole tego trójkąta wynosi $18$, pole trójkąta po prawej stronie można obliczyć ze wzoru Herona, albo z funkcji trygonometrycznej, bądź tw. Pitagorasa wyliczyć wysokśc i podstawić do wzoru i wychodzi $6\sqrt{3}$. Teraz trzeba obliczyć kolejno pola wycinków opartych na tych łukach ze wzoru $P=\frac{\alpha}{360}* \pi r^{2}$. Na początku trzeba odjąć od sumy tych dwóch trójkątów pole pierwszego wycinka o kącie 90 stopni, i wychodzi nam to białe miejsce miedzy promieniami a zamalowanym obszarem z prawej strony, potem robimy tak samo ale odejmujemy pole drugiego wycinka o kącie 120 stopni od sumy pola trójkątów, wychodzi nam białe pole po lewej stronie i jak już to mamy to od sumy pól trójkątów odejmujemy te dwa wyniki i wychodzi nam pole zamalowanego obszaru. Niestety nie chciało mi się już tego liczyć, najwyżej jak nie dasz rady to napisz ;)

primrose postów: 62	2013-02-26 19:01:18 Dziękuję :) Od tego momentu już sobie poradziłam.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj