Inne, zadanie nr 2585

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
maniek83 postów: 4	2013-02-28 20:34:26 prosze o pomoc zd1 podstawa graniastoslupa prostego jest romb. krotsza przekatna rombu tworzy z krawedzia podstawy kat 60 i ma dlugosc 4 pierwiastki z 3 . dluzsza przekatna graniastoslupa tworzy z dluzsza przekatna rombu kat 60. oblicz objetosc graniastoslupa zd2 podstawa trojkata rownobocznego ABC zawarta jest w prostej y= \frac{3}{4} x + 1 a wierzcholek C=(-1,4) wyznacz wspolrzedne wierzcholkow A,B tego trojkąta ( ulamek 3/4 x + 1 ni e wiem czy dobrze zapisalem w tym programie) zd3 ksiegarz kupil w hurtowni 20 przewodnikow i 30 map za 1020zl. przewodniki sprzedal z zyskiem 20% a mapy z zyskiem 25% w ten sposob zarobil 240 zl. oblicz w jakiej cenie księgarz kupil w hurtowni przewodniki a w jakiej mapy W jednym temacie mają być co najwyżej 3 zadania- patrz REGULAMIN Wiadomość była modyfikowana 2013-03-01 19:29:00 przez irena

zorro postów: 106	2013-03-06 18:23:43 1. Przyjmijmy oznaczenia: $p_{1}=4\sqrt{3}$ - krótsza przekątna rąbu $p_{2} $ - dłuższa przekątna rąbu $h $ - wysokość graniastosłupa Aby policzyć objętość trzeba znać pole podstawy i wysokość. Zacznijmy od podstawy czyli liczymy pole rombu: Skoro krótsza przekątna tworzy kąt 60 stopni z krawędzią więc wiedząc, że w rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym widzimy, że: $\frac{\frac{p_{2}}{2}}{\frac{p_{1}}{2}}=tg(60^{o})$ $p_{2}=p_{1}\sqrt{3}=4\sqrt{3}\sqrt{3}=43=12$ Ze wzoru na pole rombu przy znajomości przekątnych obliczamy pole podstawy: $P=\frac{1}{2}p_{1}p_{2}=\frac{1}{2}4\sqrt{3}12=24\sqrt{3}$ Teraz znajdujemy wysokość h: Skoro przekątna dłuższa graniastosłupa tworzy 60 stopni z dłuższą przekątną rombu to: $\frac{h}{p_{2}}=tg(60^{o})$ $h=p_{2}\sqrt{3}=12\sqrt{3}$ Teraz już można policzyć objętość: $V=Ph=24\sqrt{3}12\sqrt{3}=2412*3=864$

zorro postów: 106	2013-03-06 22:31:35 2. Aby znaleźć współrzędne punktów A i B wystarczy od środka podstawy S odłożyć wzdłóż danej prostej odległość $\frac{a}{2}$ w obu kierunkach. Oznacza to ,że: $x_{a}=x_{s}-\frac{a}{2}cos(\alpha)$ - rzut poziomy połowy podstawy $y_{a}=y_{s}-\frac{a}{2}sin(\alpha)$ - analogicznie w pionie Podobnie będzie: $x_{b}=x_{s}+\frac{a}{2}cos(\alpha)$ $y_{b}=y_{s}+\frac{a}{2}sin(\alpha)$ Pozostaje odnaleźć współrzędne środka i długość podstawy: Prosta wyznaczona przez punkty C i S jest prostopadła do zadanej prostej, więc: $l_{CS}: y=-\frac{4}{3}x+k$ stałą k znajdujemy wiedząc, że $C\in l_{CS}$. Współrzędne C(-1,4) spełniają to równanie: $4=-\frac{4}{3}(-1)+k \Rightarrow k=\frac{8}{3}$ $l_{CS}: y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$ Obie proste przecinają się w punkcie $S(x_{s},y_{s})$ Współrzędne te znajdujemy rozwiązując układ równań: $\left\{\begin{matrix} y_{s}=\frac{3}{4}x_{s}+1 \\ y_{s}=-\frac{4}{3}x_{s}+\frac{8}{3} \end{matrix}\right.$ Stąd: $\left\{\begin{matrix} x_{s}=\frac{4}{5} \\ y{s}=\frac{8}{5} \end{matrix}\right.$ Wysokość trójkąta będzie równa odległości \|CS\| $h=\|CS\|=\sqrt{(\frac{4}{5}+1)^{2}+(\frac{8}{5}-4)^{2}}=3$ Bok i wysokość w trójkącie równobocznym łączy zależność: $h=a\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a=h\frac{2\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ Szukamy teraz $sin(\alpha) i cos(\alpha)$ Wiemy, że współczynnik kierunkowy prostej $tg(\alpha)=\frac{3}{4}$ Przekształcamy wzór $tg(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$ $sin^{2}(\alpha)=tg^{2}(\alpha)cos^{2}(\alpha)=tg^{2}(\alpha)(1-sin^{2}(\alpha))$ stąd: $sin^{2}(\alpha)=\frac{tg^{2}(\alpha)}{1+tg^{2}(\alpha)}=\frac{(\frac{3}{4})^2}{1+(\frac{3}{4})^{2}}=\frac{9}{25}$ Z jedynki trygonometrycznej: $cos^{2}(\alpha)=1-sin^{2}(\alpha)=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ Ponieważ kąt $\alpha$ jest ostry więc sinus i cosinus będą dodatnie: $sin(\alpha)=\frac{3}{5}$ $cos(\alpha)=\frac{4}{5}$ Obliczamy teraz współrzędne punktów A i B: $x_{a}=x_{s}-\frac{a}{2}cos(\alpha)=\frac{4}{5}-\sqrt{3}\frac{4}{5}=\frac{4}{5}(1-\sqrt{3})$ $y_{a}=y_{s}-\frac{a}{2}sin(\alpha)=\frac{8}{5}-\sqrt{3}\frac{3}{5}=\frac{1}{5}(8-3\sqrt{3})$ $x_{b}=x_{s}+\frac{a}{2}cos(\alpha)=\frac{4}{5}+\sqrt{3}\frac{4}{5}=\frac{4}{5}(1+\sqrt{3})$ $y_{b}=y_{s}+\frac{a}{2}sin(\alpha)=\frac{8}{5}+\sqrt{3}\frac{3}{5}=\frac{1}{5}(8+3\sqrt{3})$ Szukane punkty: $A(\frac{4}{5}(1-\sqrt{3}),\frac{1}{5}(8-3\sqrt{3}))$ $B(\frac{4}{5}(1+\sqrt{3}),\frac{1}{5}(8+3\sqrt{3}))$

zorro postów: 106	2013-03-06 22:55:23 3. p - cena pierwotna przewodnika m - cena pierwotna mapy 1.2p - cena przewodnika z zyskiem 20% 1.25m - cena mapy z zyskiem 25% 1020+240=1260 - kwota sprzedaży wszystkich map i przewodników z zyskem Z treści wynika, że: $20p+30m=1020$ oraz $201.2p+301.25m=1260$ Upraszczając te równania mamy układ: $\left\{\begin{matrix} 2p+3m=102 \\ 16p+25m=840 \end{matrix}\right.$ pierwsze mnożymy przez (-8)i dodajemy stronami: $\left\{\begin{matrix}-16p-24m=-816 \\ 16p+25m=840 \end{matrix}\right.$ $m=24$ czyli: $2p+324=102$ $p=15$ Przewodnik kosztował oryginalnie 15zł za szt., a mapa 24zł za szt. Za wszystkie przewodniki księgarz zapłacił 2015 = 300 zł, a za wszystkie mapy 30*24=720zł.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj