Liczby rzeczywiste, zadanie nr 2630

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
Szymon postów: 657	2013-03-10 09:48:22 1. Wykaż, że jeżeli $3^n+4^n=5^n$ to n = 2. 2. Niech r i R oznaczają odpowiednio promień okręgu wpisanego i opisanego na ośmiokącie foremnym. Wykaż, że $\frac{R}{r} = \sqrt{4-2\sqrt{2}}$ 3. Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalnych k,l,m liczba : $10^{3k}+10^{3l+1}+10^{3m+2}$ jest podzielna przez 37.

naimad21 postów: 380	2013-03-10 14:17:35 zad 2 $R=a\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$ $r=a\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ Musisz jedynie porównać te dwie liczby, jeśli Ci nie będzie wychodziło to napisz to przepisze z kartki obliczenia ;)

Szymon postów: 657	2013-03-10 17:39:21 Co do zadania drugiego, to obliczyłem oba promienie, ale stosunek wyszedł mi : $\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{1+\sqrt{2}}$, nie potrafię tego przekształcić do postaci : $\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ Skąd wyszły Ci takie długości obu promieni ? Wiadomość była modyfikowana 2013-03-10 17:56:07 przez Szymon

naimad21 postów: 380	2013-03-10 18:26:09 $\frac{R}{r}=R\frac{1}{r}=a\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}\frac{2}{(1+\sqrt{2})a}=\sqrt{\frac{(2+\sqrt{2})4}{2(1+\sqrt{2})^{2}}}=\sqrt{\frac{2(2+\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})^{2}}}=$ $=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}+2}}=\sqrt{\frac{(4+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}{3+2\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})}}=\sqrt{\frac{12-8\sqrt{2}+6\sqrt{2}-8}{9-8}}=\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ Jest ogólny wzór na te promienie np. na Wikipedii hasło: ośmiokąt foremny. Jeśli chciałbyś sobie wyprowadzić to dam Ci wskazówkę, łącząc środek okręgu opisanego na ośmiokącie z wierzchołkami, powstaje 8 trójkątów równoramiennych, o kącie środkowym $\frac{2\pi}{8}$, dorysowywujesz jedną wysokość w takim trójkącie, dzielisz kąt na pół, i z funkcji trygonometrycznej wyliczasz bok tego trójkąta, który jest jednocześnie promieniem okręgu opisanego i uzależniasz go od podstawy. Tak samo z okręgiem wpisanym, tyle tylko, że promień będzie równy wysokości takiego trójkąta.

Szymon postów: 657	2013-03-10 18:36:04 Wszystko pięknie ładnie, tylko że ja długości promieni sam wyliczyć. Mi wyszło : $R = \frac{a\sqrt{4+2\sqrt{2}})}{2}$ oraz $r = \frac{a(1+\sqrt{2})}{2}$ więc : $\frac{R}{r} = \frac{\frac{a\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}}{\frac{a(1+\sqrt{2})}{2}} = \frac{a\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{a(1+\sqrt{2})}{2}} = \frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{1+\sqrt{2}}$ I teraz, jak wyrażenie $\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{1+\sqrt{2}}$, przekształcić do postaci : $\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ ??

naimad21 postów: 380	2013-03-10 19:01:36 aaa to teraz mianownik włączasz pod pierwiastek i wychodzi Ci $\sqrt{\frac{4+2\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})^{2}}}$ wymnażasz mianownik, potem usuwasz niewymierność i powinno wyjść, zobacz sobie na końcówkę mojego rozwiązania.

Szymon postów: 657	2013-03-10 19:59:04 Aha dzięki, już rozumiem ;) Umiałbyś zadanie 1. i 3. ?

naimad21 postów: 380	2013-03-11 11:37:06 Zobacz sobie "Wielkie twierdzenie Fermata", tam jest udowodnione, że dla n>2 $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ równość nie zachodzi. Spróbuj coś z tym pokombinować. W trzecim jak coś wykombinuje to napisze ;)

agus postów: 2387	2013-03-13 22:00:46 Co do rozwiązania zadania 3, to udało mi się zauważyć,że szukana liczba składa się z 3 jedynek i pozostałych zer, przy czym jedynki są na miejscach o numerze podzielnym przez 3, dającym z dzielenia przez 3 resztę 1, dającym z dzielenia przez 3 resztę 2. Sprawdziłam to praktycznie i się zgadza. Może ta uwaga pomoże Ci w rozwiązaniu zadania? :)

Szymon postów: 657	2013-03-13 22:08:28 Co do zadania 3. to darowałem je sobie, bo nie potrafiłem nic sensownego wyciągnąć przed nawias. Możesz przedstawić Twoje rozwiązanie ? ;)

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj