Równania i nierówności, zadanie nr 3209

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
szymix224 postów: 7	2013-10-20 22:24:24 Rozwiązać układ równań: $\left\{\begin{matrix} 2x^2 + y^2=4 \\ 2xy-2x=-5 \end{matrix}\right.$ Wyprowadziłem x z pierwszego równania, po podstawieniu wyszło mi 4=4 -> układ nieoznaczony. Mógłby ktoś zweryfikować czy dobrze?

irena postów: 2636	2013-10-21 08:53:25 Sprawdź, czy dobrze przepisałeś ten układ, bo coś tu nie gra.

tumor postów: 8070	2013-10-21 09:28:22 IRENO! Zadanie wyszło śliczne, a Ty chcesz je popsuć zmianą współczynników, żeby wyszło łatwe! :P Miałem teraz chwilę ubawu z szukaniem drogi rozwiązania metodami licealnymi, aż strach pomyśleć, że autor przylezie i rzeczywiście pozmienia treść! No i twardym trzeba być, nie wymiękamy przy licealnych zadaniach :) ------- Najpierw trochę teorii Równania, jak powyższe, możesz sobie wyobrażać jak pewne obiekty na płaszczyźnie. Nie muszą być funkcjami. Pierwsze z równań to równanie elipsy (czyli nie spełnia definicji funkcji), gdyby narysować zbiór punktów, które spełniają to równanie, to będzie elipsa. Druge można przekształcić do $y=\frac{2x-5}{2x}$, wykresem jest hiperbola podobna do $y=-\frac{1}{x}$ (jeśli znasz ten wykres). Rozwiązanie układu to znalezienie punktów wspólnych dla tych obiektów. Elipsa i hiperbola nie mogą się pokrywać (co by dało nieskończenie wiele punktów wspólnych i układ nieoznaczony). Przemyśl, ile mogą mieć wspólnych punktów. $\left\{\begin{matrix} 2x^2+y^2=4 \\ y=\frac{2x-5}{2x} \end{matrix}\right.$ $x\neq 0$ $2x^2+(\frac{2x-5}{2x})^2=4$ Obustronnie mnożymy przez $(2x)^2$ $ 8x^4+4x^2-20x+25=16x^2$ $8x^4-12x^2-20x+25=0$ Wyszła kaszana trochę, może gdzieś pomyliłem i stąd brzydkie współczynniki :) Strona z wykresami online mówi, że ten wielomian nie ma miejsc zerowych. Tylko wypada to pokazać uczciwie. Możliwości są, ale brzydkie, brzydkie. Na przykład wzory Ferrari, ale to byś robił miesiąc. Można rzecz sprowadzić do znalezienia minimum dla tego wielomianu, co wymaga łatwej pochodnej i nieco męczących wzorów Cardano, tu się wyrobisz w tydzień. Ale to wciąż nie są rozwiązania zadowalające czasowo :P Możemy zrobić zabawny myk, metodę kombinowaną. Minimum dla tego wielomianu szukać będziemy w okolicach liczby x=1,13951, o ile program się nie myli. Możemy spróbować zapisać nasz wielomian jako sumę kwadratu i funkcji kwadratowej o dodatnich wartościach, tadam! :) (Zauważ, że suma kwadratu czegokolwiek i liczby dodatniej jest dodatnia, czyli nie jest zerem, czyli pokazalibyśmy wtedy, że nie ma rozwiązań). Ja sobie wymnożę przez 2 (co nie zmienia zbioru rozwiązań), by mieć ładniejsze współczynniki przez chwilę. :) $16x^4-24x^2-40x+50=16(x^2-A^2)^2+32A^2x^2-16A^4-24x^2-40x+50$ (Wprowadziłem literę $A$, ale gdyby wymnożyć, to się poredukuje, czyli tak naprawdę nieistotne jest w tym miejscu, co ja za nią wstawię) Zauważamy, że $16(x^2-A^2)^2$ przyjmuje wartości nieujemne (najmniej $0$, gdy $x=A$). Czyli musimy pokazać, że $32A^2x^2-16A^4-24x^2-40x+50$ przyjmuje wartości WYŁĄCZNIE DODATNIE, co zakończy rozwiązywanie brzydkiego wielomianu. $ 32A^2x^2-16A^4-24x^2-40x+50=(32A^2-24)x^2-40x+50-16A^4$ czyli $a=32A^2-24$ $b=-40$ $c=50-16A^4$ $\Delta=1600-4(32A^2-24)(50-16A^4)$ i chcemy dobrać A tak, by delta wyszła ujemna, przy $a$ dodatnim. Będziemy szukać w okolicy tej liczby, gdzie wielomian ma minimum. Sprawdzamy $A=1,13951$, z mocnym kalkulatorem. Jeśli $\Delta$ wyjdzie ujemna, to znaczy, że trójmian kwadratowy przyjmuje wartości wyłącznie dodatnie, a wielomian nie ma miejsc zerowych, czyli ostatecznie - hiperbola i elipsa z zadania nie mają punktów wspólnych, a układ nie ma rozwiązań. :) (jeśli dla takiego $A$ wciąż delta byłaby dodatnia, należałoby numerycznie znaleźć dokładniej umiejscowienie minimum wielomianu lub rozwiązać nierówność wielomianową, co jednak może znów być nużące) Fajnie się tam bawicie w szkole. Wiadomość była modyfikowana 2013-10-21 09:50:30 przez tumor

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj