Liczby rzeczywiste, zadanie nr 3386
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
akordeonik post贸w: 6 |  2013-11-11 16:37:38Wykaza膰, 偶e dla dowolnego x oraz a > 0 zachodzi nier贸wno艣膰 $\frac{1}{a^x + a^{-x} - 1} \le 1$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-11-11 16:39:50 przez akordeonik |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-11 16:49:35 Po pierwsze dla $a=1$ mamy $a+\frac{1}{a}=2$ Po drugie niech $a=1+b$, $b>0$ Wtedy $a+\frac{1}{a}=1+b+\frac{1}{1+b}=1+b+\frac{1+b}{1+b}-\frac{b}{1+b}=2+b-\frac{b}{1+b}$ Zauwa偶my, 偶e $1+b$ jest liczb膮 wi臋ksz膮 ni偶 $1$, czyli $\frac{b}{1+b}<b$ czyli $b-\frac{b}{1+b}>0$, czyli ostatecznie dla $a\ge 1$ mamy $a+\frac{1}{a}\ge 2$. St膮d $\frac{1}{a+\frac{1}{a}-1}\le \frac{1}{2-1}=1$ ---- w zadaniu nie ma znaczenia dowolny $x$, bo z liczb $a^x$ i $a^{-x}$ jedna jest na pewno wi臋ksza lub r贸wna $1$, druga natomiast jest odwrotno艣ci膮 pierwszej, stosuje si臋 wi臋c regu艂a, kt贸r膮 wyprowadzi艂em wy偶ej. |
akordeonik post贸w: 6 | 2013-11-11 16:58:15 Dzi臋ki:) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj