Liczby rzeczywiste, zadanie nr 3519

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
konciaq postów: 145	2013-11-22 13:49:44 Uzasadnij, że liczba $\frac{1}{2 \cdot4}+\frac{1}{4 \cdot6}+\frac{1}{6\cdot8}+ ...+\frac{1}{98\cdot100}=\frac{49}{200}$

mimi postów: 171	2013-11-22 19:37:10 $\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + ... + \frac{1}{98 \cdot 100} = \frac{1}{4} (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{49 \cdot 50})$ A teraz sztuczka: $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{n + 1 - n}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{((a+2)(a+3)} + ... + \frac{1}{(b-1)b} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a-1} + \frac{1}{a-1} - \frac{1}{a-2} + .... - \frac{1}{b-1} + \frac{1}{b-1} - \frac{1}{b} = $ $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$ Więc teraz: $\frac{1}{4} (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{49 \cdot 50}) = \frac{1}{4} \cdot {50 - 1}{1 \cdot 50} = \frac{49}{200}$

konciaq postów: 145	2013-11-22 21:54:47 mozna prosciej? skad ta sztuczka?

mimi postów: 171	2013-11-22 23:45:48 Możesz też skorzystać z faktu, że $\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{6 + 2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4 \cdot 6}$ i tak w każdej parze sąsiednich ułamków - środkowy wyraz się skróci i zostanie Ci 2 dzielone przez iloraz najmniejszej i największej liczby z dwóch mianowników - z tym, że masz tych ułamków 48, co nie jest żadną naturalną potęgą dwójki, więc na końcu zostaną Ci jakieś brzydkie, duże, względnie pierwsze liczby, które trzeba będzie wymnożyć, dodać i podzielić, co będzie o wiele bardziej skomplikowane i zdecydowanie to odradzam. Jeśli masz problem ze zrozumieniem tej sztuczki, spróbuj w drugą stronę: Weźmy sobie coś takiego: $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ (czyli np. $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ albo $\frac{1}{7} - \frac{1}{8}$ - ale to, co zaraz wyciągniemy, chcemy zastosować do dużej ilości liczb, więc będziemy operować na bardziej ogólnym n) Sprowadźmy do wspólnego mianownika: $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{n + 1 - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$ Popatrz, doszliśmy do czegoś, co jest podobne do liczb z Twojego zadania. Z tym, że u Ciebie liczby różnią się o 2, a nie o 1, więc dla ułatwienia wyciągamy sobie $\frac{1}{4}$ przed nawias. Popatrzmy jeszcze raz na to, co przed chwilą wymnożyliśmy: $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ A teraz na zadanie: $\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + ... + \frac{1}{98 \cdot 100}$ Najpierw wyciągnijmy $\frac{1}{4}$ przed nawias: $\frac{1}{4} (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{49 \cdot 50})$ Teraz w nawiasie mamy coś bardzo, bardzo podobnego do tego, co mamy na górze: 48 ułamków, a każdy w postaci takiej, jak prawa strona tego równania. Więc zamiast używać lewej, zapiszmy je w takiej postaci, jak prawe strony tego równania: $\frac{1}{2 \cdot 3}$ zapiszemy jako $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ $\frac{1}{3 \cdot 4}$ zapiszemy jako $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ i tak dalej: $\frac{1}{4} (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{49 \cdot 50}) = \frac{1}{4} (\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ... -\frac{1}{49} + \frac{1}{49} - \frac{1}{50})$ Teraz widzimy, że wszystkie te środkowe ułamki się poredukują, bo prawie każdy pojawia się dwa razy: raz z plusem i raz z minusem. Zostanie nam tylko: $\frac{1}{4} (1 - \frac{1}{50}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{49}{50} = \frac{49}{200}$ Co chcieliśmy pokazać. Mam nadzieję, że pomogłam.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj