Stereometria, zadanie nr 3534

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kokabango postów: 144	2013-11-23 12:47:48 zad 9. Dany jest trójkąt równoramienny , w którym kat przy podstawie ma miarę 30 stopni , a wysokość opuszczona na podstawę jest równa 1. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły otrzymanej przez obrót tego trójkąta wokół dwóch sąsiednich boków. Bardzo proszę o dokładne obliczenia do zad 9 , bo mam kłopot , z góry dziękuje. Karola

mimi postów: 171	2013-11-23 22:47:40 Jak na podstawę tego trójkąta opuścimy wysokość, to podzieli go ona na dwa trójkąty o prostokątne (o kątach 30, 60, 90): jedna przyprostokątna to wysokość, ma więc długość 1. Druga, z własności takich trójkątów ma długość $\sqrt{3}$. Przeciwprostokątna ma długość 2. Tak więc, gdy dany trójkąt obrócimy wokół podstawy dostaniemy "zlepione" podstawami dwa stożki takie, jakie otrzymalibyśmy obracając trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej długości 2 wokół przyprostokątnej o długości 1: ich promień podstawy wynosi 1, tworząca ma długość 2, a wysokość $\sqrt{3}$. Możemy więc policzyć pole powierzchni jako: $S = 2 \cdot \pi \cdot 1 \cdot 2 = 4 \pi$ (naturalnie nie dodaję pola podstawy, bo stożki są tam "zlepione", więc nie stanowi ona brzegu figury utworzonej z tych dwóch stożków) Oraz objętość jako: $V = 2 \cdot \pi \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{3} = 2 \pi \sqrt{3}$ Nieco trudniejszy jest obrót tego trójkąta wokół ramienia. Otrzymujemy coś, co jest jakby stożkiem ściętym, z którego "wycięto" stożek "nieścięty" o tej samej podstawie (większej podstawie) oraz wysokości. Mniejsza podstawa tego stożka ma promień równy jego ramieniu, a więc 2 (podobnie, jak tworząca). Poszukajmy teraz wysokości: jest ona równa wysokości trójkąta który obracamy opuszczonej na ramię. Wysokość tego trójkąta opuszczona na podstawę jest równa 1, a podstawa ma długość $2 \sqrt{3}$, więc dany trójkąt ma pole powierzchni równe $\sqrt{3}$. Z drugiej strony, jest ono połową iloczynu szukanej przez nas wysokości oraz jego ramienia: $\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h$ Stąd, wysokość stożka ściętego, który otrzymaliśmy jest równa $\sqrt{3}$. Promień większej podstawy tego stożka ściętego tworzy z tą wysokością oraz podstawą obracanego trójkąta trójkąt prostokątny (podstawa obracanego trójkąta stanowi przeciwprostokątną), a więc z twierdzenia Pitagorasa ma długość 3. Teraz już możemy policzyć objętość tak otrzymanej figury. Cały stożek ścięty ma objętość: $V_{1} = \frac{1}{3} \pi \cdot \sqrt{3} (3^{2} + 3 \cdot 2 + 2^{2}) = \frac{19}{3} \pi \sqrt{3}$ Zaś wycięty z niego stożek: $V_{2} = \frac{1}{3} \pi \sqrt{3} \cdot 3^{2} = \frac{9}{3} \pi \sqrt{3}$ Uzyskana przez nas figura ma objętość: $V = V_{1} - V_{2} = \frac{10}{3} \pi \sqrt{3}$ Jeśli chodzi powierzchnię tej figury, składa się ona z: mniejszej podstawy tego ściętego stożka, jego pola powierzchni bocznej oraz pola powierzchni bocznej stożka, który wycięliśmy. Mniejsza podstawa ma pole: $S_{P} = \pi \cdot 2^{2} = 4 \pi $ Pole powierzchni bocznej stożka ściętego: $S_{1} = \pi \cdot 2 (2+3) = 10 \pi$ Zaś pole powierzchni stożka, który wycięliśmy: $S_{2} = \pi \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{3} = 6 \pi \sqrt{3}$ Pole powierzchni całej figury: $S = S_{P} + S_{1} + S_{2} = 14 \pi + 6 \pi \sqrt{3}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj