Geometria, zadanie nr 3547

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
senseye5020 postów: 1	2013-11-25 18:29:40 Trójkąt wpisano w parabolę y=1/8x^ w ten sposób, że jeden z jego wierzchołków jest wierzchołkiem paraboli, a dwa pozostałe wierzchołki są punktami przecięcia tej paraboli prosta y=1/4x + 1. a) wyznacz wierzchołki trójkąta b) oblicz pole trójkąta

mimi postów: 171	2013-11-26 00:29:21 a.) $y = \frac{1}{8}x^{2}$ Parabola będąca wykresem tej funkcji będzie "ściśniętym", ale nie "przesuniętym" wykresem funkcji $y = x^{2}$. Oznacza to, że jej wierzchołkiem będzie punkt (0, 0) - jest to pierwszy wierzchołek trójkąta. $y = \frac{1}{4}x + 1$ $4y = x + 4$ $x = 4(y - 1)$ $x^{2} = 16(y^{2} - 2y + 1)$ Aby wyznaczyć punkty przecięcia tej prostej z parabolą, wstawmy $x^{2}$ do równania paraboli: $y = 2(y^{2} - 2y + 1)$ $y = 2y^{2} - 4y + 2$ $2y^{2} - 5y + 2 = 0$ $\Delta = 25 - 16 = 9$ $y_{1} = \frac{5 + 3}{4} = 2$ $x_{1} = 4$ $y_{2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$ $x_{2} = -2$ Trójkąt ma więc wierzchołki $(0, 0), (4, 2), (-2, \frac{1}{2})$

mimi postów: 171	2013-11-26 00:43:04 b.) Pole trójkąta najłatwiej obliczyć wpisując go w prostokąt o bokach równoległych do osi układu współrzędnych: łatwo możemy odczytać długości boków prostokąta, a także trzech trójkątów prostokątnych, które z prostokąta należy "odciąć", aby otrzymać szukany trójkąt. Prostokąt będzie miał boki o długościach $4 - (-2) = 6$ oraz $2 - 0 = 2$, a więc pole równe $6 \cdot 2 = 12$ W lewym dolnym rogu będzie trójkąt o przyprostokątnych $\frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ oraz $0 - (-2) = 2$, a więc polu równym $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot {2} = \frac{1}{2}$ W prawym dolnym rogu trójkąt o przyprostokątnych $4 - 0 = 4$ oraz $2 - 0 = 2 \frac{1}{2}$, a więc polu powierzchni: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$ Zaś w lewym górnym rogu trójkąt o przyprostokątnych $2 - \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}$ oraz $4 - (-2) = 6$, więc polu powierzchni: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 \frac{1}{2} = 4 \frac{1}{2}$ Szukane przez nas pole wyniesie więc: $12 - \frac{1}{2} - 4 - 4 \frac{1}{2} = 3$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj