Liczby rzeczywiste, zadanie nr 3549

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
Szymon postów: 657	2013-11-25 20:46:53 1. Czy istnieje taka para liczb całkowitych (a,b), gdzie suma : sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu liczb a i b daje wynik 150 ? 2. Czy równanie kwadratowe x^2+px+q o nieparzystych współczynnikach może mieć pierwiastek wymierny ?

mimi postów: 171	2013-11-25 23:35:53 1. $a + b + a - b + ab + \frac{a}{b} = 150$ $2a + ab + \frac{a}{b} = 150$ Zauważmy, że po lewej stronie mamy sumę dwóch liczb całkowitych oraz pewnego ułamka, a po prawej stronie liczbę całkowitą. Tak więc, ten ułamek również musi być całkowity, więc $a = kb$ i $k \in \mathbb{Z}$ $2kb + kb^{2} + k = 150$ $k (b^{2} + 2b + 1) = 150$ $k (b + 1)^{2} = 150$ Rozwiązaniem tego równania może być np. $k = 6, b = 4$ Otrzymujemy wówczas $a = 24, b = 4$ Sprawdźmy, czy ta para liczb spełnia warunki zadania: $24 + 4 = 28$ $24 - 4 = 20$ $24 \cdot 4 = 96$ $\frac{24}{4} = 6$ $28 + 20 + 96 + 6 = 150$ Skoro potrafimy podać taką parę, to możemy być pewni, że istnieje.

mimi postów: 171	2013-11-26 00:09:35 2. $x^{2} + px + q = 0$ $x = \frac{-p \pm \sqrt{\Delta}}{2}$ Ponieważ $p$ i $2$ są liczbami całkowitymi, taką też liczbą musi być pierwiastek z delty, aby x był liczbą wymierną $\sqrt{p^{2} - 4q} = m, m \in \mathbb{Z}$ $p^{2} - 4q = m^{2}$ Z założeń wynika, że $p$ i $q$ są liczbami nieparzystymi, więc liczba $p^{2} - 4q $ też musi być nieparzysta, a więc liczba $m$ jest nieparzysta. $p^{2} - m^{2} = 4q$ $(p - m)(p + m) = 4q$ Ponieważ liczby $p$ i $m$ są nieparzyste, możemy je zapisać jako $p = 2a + 1, q = 2b + 1$ $(2a + 1 - 2b - 1)(2a + 1 + 2b + 1) = 4q$ $2(a - b) \cdot 2(a + b + 1) = 4q$ $q = (a - b)(a + b + 1)$ Jeśli liczby $a$ i $b$ są obie parzyste lub obie nieparzyste, to $(a - b)$ jest liczbą parzystą, w przeciwnym razie $(a + b + 1)$ jest liczbą parzystą. Mnożąc jakąkolwiek liczbę całkowitą przez liczbę parzystą zawsze otrzymujemy liczbę parzystą. Jednak założyliśmy, że q jest liczbą nieparzystą, doszliśmy więc do sprzeczności. Skoro tak, to takie równanie nie może mieć pierwiastka wymiernego.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj