Wyrażenia algebraiczne, zadanie nr 3691
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| konciaq postów: 145 |  2013-12-14 16:50:47Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych różnych od zera zachodzi nierówność $\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\ge \frac{1}{3}$ |
| genius717 postów: 78 | 2013-12-14 20:17:04 $\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\ge\frac{1}{3}/*(a^{2}+ab+b^{2})$ $a^{2}-ab+b^{2}\ge \frac{1}{3}a^{2}+ab+b^{2}$/*3 $3(a^{2}-ab+b^{2})\ge a^{2}+ab+b^{2}$/*3 $3a^{2}-3ab+3b^{2})\ge a^{2}+ab+b^{2}$ $3a^{2}-3ab+3b^{2}-a^{2}-ab-b^{2}\ge 0$ $2a^{2}-4ab+2b^{2}\ge 0$/:2 $a^{2}-2ab+b^{2}\ge 0$ $(a-b)^{2}\ge 0$ kwadrat dowolnego wyrażenia jest zawsze nieujemny c.k.d. |
| mimi postów: 171 | 2013-12-14 20:29:49 W powyższym dowodzie brakuje dowodu, że $a^{2} + ab + b^{2} > 0$ (gdyby tak nie było, musielibyśmy zmienić znak nierówności przy obustronnym mnożeniu) Otóż, gdy $ab > 0$, sumujemy trzy liczby dodatnie, więc wynik z pewnością będzie dodatni. Zaś dla $ab < 0$ $ab > 2ab$ $a^{2} + ab + b^{2} > a^{2} + 2ab + b^{2} > 0$ |
| konciaq postów: 145 | 2013-12-15 17:57:05 no wlasnie tego mi brakowalo....dziki |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj