Funkcje, zadanie nr 4341

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
szymko postów: 30	2014-05-10 19:22:38 Wykaż, że funkcja f opisana wzorem f(x)=$\frac{x+2}{x-1}$ a) jest malejaca w przedziale (-$\infty$,1) b) nie jest malejaca w zbiorze R-{1}

tumor postów: 8070	2014-05-10 20:01:50 $ \frac{x+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{3}{x-1}=1+\frac{3}{x-1}$ Niech $x_1>x_2$, a ponadto niech $x_1,x_2<1$. Mamy $x_1-1>x_2-1$ dzielimy obie strony przez $(x_1-1)(x_2-1)$, a jest to liczba dodatnia, czyli nie zmienia się znak nierówności $\frac{1}{x_2-1}>\frac{1}{x_1-1}$ A gdy jeszcze domnożymy obie strony przez $3$, a potem dodamy do obu stron 1, otrzymamy $1+\frac{3}{x_2-1}>1+\frac{3}{x_1-1}$ czyli $f(x_2)>f(x_1)$, czyli funkcja dla argumentów mniejszych od $1$ jest malejąca. Skorzystaliśmy z tego, że $(x_1-1)(x_2-1)$ jest liczbą dodatnią. Gdyby była to liczba ujemna, otrzymalibyśmy ostatecznie $f(x_2)<f(x_1)$, co zajdzie, gdy $x_2<1$, $x_1>1$. Można podać jakiś przykład, jak $x_1=666$, $x_2=-\pi^\pi$ albo nawet prostszy.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj