logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Trygonometria, zadanie nr 4496

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

aress_poland
postów: 66
2014-09-01 18:01:53

Rozwiąż równanie:

[cos^{2}(x) -\frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot sin(x)\cdot cos(x)- sin^{2}(x)=0]


tumor
postów: 8070
2014-09-01 18:28:20

$ cos^2x-sin^2x=cos2x$
$2sinxcosx=sin2x$, zatem po podstawieniu mamy

$cos2x-\frac{\sqrt{3}}{3}sin2x=0$
czyli

$cos2x=\frac{\sqrt{3}}{3}sin2x$
Podnieśmy obie strony do kwadratu (zauważając przed podniesieniem, że $sin2x$ i $cos2x$ są tych samych znaków)

$cos^22x=\frac{1}{3}sin^22x$
$1=\frac{4}{3}sin^22x$
$sin^22x=\frac{3}{4}$
$sin2x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
Stąd $2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \pm \frac{\pi}{6}$

Dla
$2x=\frac{\pi}{2}+k\pi - \frac{\pi}{6}$
mamy sin2x i cos2x tych samych znaków, natomiast
$2x=\frac{\pi}{2}+k\pi + \frac{\pi}{6}$
są przeciwnych znaków
Czyli $x=\frac{4\pi}{3}-\frac{k\pi}{2}$


Wiadomość była modyfikowana 2014-09-01 19:29:10 przez tumor

aress_poland
postów: 66
2014-09-01 19:23:34

Czy po początkowym podstawieniu nie powinno być:

[cos2x-\frac{\sqrt{3}}{3} sin2x=0]


tumor
postów: 8070
2014-09-01 19:29:28

Tak, dziękuję, że uważasz :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj