Liczby rzeczywiste, zadanie nr 4701
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
aress_poland postów: 66 | 2014-11-23 17:29:53 Dane są liczby dodatnie a,b,c. Udowodnij, że [\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} \ge ab+bc+ca] |
rockstein postów: 33 | 2014-11-23 22:32:50 Wychodzę z oczywistej nierówności: x^2+y^2>=2*x*y, mnożę ją obustronnie przez (x/y) i otrzymuję: (x^3)/y+x*y>=2*(x^2). Biorąc kolejno: x=a, y=b mam: (a^3)/b+(a*b)>=2*(a^2), x=b, y=c mam: (b^3)/c+(b*c)>=2*(b^2), x=c, y=a mam: (c^3)/a+(c*a)>=2*(c^2) Sumując otrzymane nierówności stronami: (a^3)/b+(b^3)/c+(c^3)/a+a*b+b*c+c*a>=2*(a^2)+2*(b^2)+2*(c^2) Korzystając z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną: a^2+b^2>=2*sqrt(a^2*b^2)=2*a*b b^2+c^2>=2*sqrt(b^2*c^2)=2*b*c c^2+a^2>=2*sqrt(c^2*a^2)=2*c*a; sumując te trzy nierówności: 2*(a^2)+2*(b^2)+2*(c^2)>=2*a*b+2*b*c+2*c*a, wstawiam otrzymaną nierówność w prawą stronę wyrażenia zapisanego w wierszu (7): (a^3)/b+(b^3)/c+(c^3)/a+a*b+b*c+c*a>=2*(a*b)+2*(b*c)+2*(c*a) Dokonując redukcji wyrazów podobnych otrzymuję: (a^3)/b+(b^3)/c+(c^3)/a>=(a*b)+(b*c)+(c*a) cbdo |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj