logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 4701

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

aress_poland
postów: 66
2014-11-23 17:29:53

Dane są liczby dodatnie a,b,c. Udowodnij, że [\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} \ge ab+bc+ca]


rockstein
postów: 33
2014-11-23 22:32:50

Wychodzę z oczywistej nierówności: x^2+y^2>=2*x*y, mnożę ją obustronnie przez (x/y) i otrzymuję: (x^3)/y+x*y>=2*(x^2).
Biorąc kolejno: x=a, y=b mam: (a^3)/b+(a*b)>=2*(a^2),
x=b, y=c mam: (b^3)/c+(b*c)>=2*(b^2),
x=c, y=a mam: (c^3)/a+(c*a)>=2*(c^2)
Sumując otrzymane nierówności stronami:
(a^3)/b+(b^3)/c+(c^3)/a+a*b+b*c+c*a>=2*(a^2)+2*(b^2)+2*(c^2)
Korzystając z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną:
a^2+b^2>=2*sqrt(a^2*b^2)=2*a*b
b^2+c^2>=2*sqrt(b^2*c^2)=2*b*c
c^2+a^2>=2*sqrt(c^2*a^2)=2*c*a; sumując te trzy nierówności:
2*(a^2)+2*(b^2)+2*(c^2)>=2*a*b+2*b*c+2*c*a, wstawiam otrzymaną nierówność w prawą stronę wyrażenia zapisanego w wierszu (7):
(a^3)/b+(b^3)/c+(c^3)/a+a*b+b*c+c*a>=2*(a*b)+2*(b*c)+2*(c*a)
Dokonując redukcji wyrazów podobnych otrzymuję:
(a^3)/b+(b^3)/c+(c^3)/a>=(a*b)+(b*c)+(c*a) cbdo

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj