logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Inne, zadanie nr 4816

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dadunek
postów: 1
2014-12-13 17:35:30

Uzasadnij, że funkcja

f(x)=$x^{3}$+a$x^{2}$+3x+1
gdzie x należy do R
|a|$\le$ 3 jest funkcją rosnącą

Wiadomość była modyfikowana 2014-12-13 17:44:45 przez dadunek

kebab
postów: 106
2014-12-13 20:53:15

Można to zrobić za pomocą pochodnych.

$f'(x)=3x^2+2ax+3$

Mamy 3 przypadki:
1.
$f'(x)$ nie ma pierwiastków $(\Delta<0)$
funkcja $f(x)$ jest rosnąca na R, bo pochodna jest dodatnia dla każdego x rzeczywistego

2.
$f'(x)$ ma jeden pierwiastek $x_0 (\Delta=0)$
funkcja $f(x)$ jest rosnąca na R, bo pochodna jest dodatnia dla każdego x rzeczywistego z wyjątkiem $x_0$ a w otoczeniu $x_0$ nie zmienia znaku

3.
$f'(x)$ ma dwa pierwiastki $x_1 < x_2 (\Delta>0)$
funkcja $f(x)$ jest malejąca na przedziale $(x_1 , x_2)$, bo pochodna jest ujemna na tym przedziale

Zatem funkcja $f(x)$ jest rosnąca na R wtw. gdy $\Delta\le 0$

$\Delta\le 0 \iff 4a^2-36 \le 0 \iff a^2 \le 9 \iff |a|\le 3$

Wiadomość była modyfikowana 2014-12-13 21:21:27 przez kebab
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj