Liczby rzeczywiste, zadanie nr 4846

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
rico postów: 11	2014-12-29 12:41:48 Wykaż, że gdy x+y=4 $x^{2}+y^{2}$=6 to $x^{4}+y^{4}$<0 Bo jak ja to rozwiązywałem, to mi wychodzi, że zawsze będzie większe od zera.

tumor postów: 8070	2014-12-29 12:47:35 Bo będzie.

rico postów: 11	2014-12-29 12:52:48 Zbiór zadań Matura z matematyki w roku 2015 uważa inaczej. Ale rozwiązania do tego zadania nie podali.

Szymon postów: 657	2014-12-29 15:25:24 Chyba mi wyszło, gdybym miał błąd proszę mi zwrócić uwagę :) $x+y=4$ i $x^{2}+y^{2}=6$ $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=4^2=16$ $x^{2}+2xy+y^{2}=16$ $6+2xy=16$ $xy=5$ $x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}$ $x^{4}+y^{4}=6^2-2(xy)^{2}$ $x^{4}+y^{4}=6^2-2\cdot25=36-50=-14$ $-14<0$ C.K.D

irena postów: 2636	2015-01-02 08:36:05 To zadanie to jakaś bzdura. Dla wszystkich liczb rzeczywistych $x^4,y^4\ge0$. Nie może tak być więc, że $x^4+y^4<0$ Inaczej- nie istnieje para liczb rzeczywistych, dla których $x+y=4$ i jednocześnie $x^2+y^2=6$ Bo wtedy rzeczywiście zachodzi $xy=5$ czyli $y=\frac{5}{x}$ i $x+\frac{5}{x}=4$ $x^2+5=4x$ $x^2-4x+5=0$ $\Delta=16-20<0$ Taka para liczb rzeczywistych więc nie istnieje

Szymon postów: 657	2015-01-02 13:27:52 Hmm, faktycznie :) Nie zwróciłem uwagę na to, że zawsze $x^{4}+y^{4}\ge0$...

tumor postów: 8070	2015-01-02 18:18:48 A gdyby w zespolonych? $x+y=4$ $xy=5$ $x^2-4x+5=0$ $\Delta=-4$ $\sqrt{\Delta}=2i$ $x=2-i$ $y=2+i$ (lub symetrycznie) Wtedy rzeczywiście $x+y=4$ $xy=5$ $x^2+y^2=3-4i+3+4i=6$ $x^4+y^4=-7-24i-7+24i=-14<0$ Natomiast liczby rzeczywiste nie są i zdanie, że jeśli x,y spełniają $x+y=$4 oraz $x^2+y^2=6$ to spełniają też $x^4+y^4<$0 jest równie poprawne jak zdanie, że jeśli $x+y=4$ oraz $x^2+y^2=6$ to też $x^4+y^4=0$ albo cokolwiek innego. ;) Innymi słowy implikacja na gruncie liczb rzeczywistych jest spełniona, bo poprzednik jest fałszem. A na gruncie zespolonych da się doliczyć dokładnie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj