Stereometria, zadanie nr 5012

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
aress_poland postów: 66	2015-02-09 16:01:17 Wyznacz objętość czworościanu, którego pięć krawędzi ma długość 2, a szósta ma długość $ \sqrt{6} $

tumor postów: 8070	2015-02-09 17:28:50 Istnieje duży wzór na objętość czworościanu o zadanych krawędziach. http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron#Heron-type_formula_for_the_volume_of_a_tetrahedron o tu. Natomiast można się obejść bez niego. Niech trójkąt $2,2,\sqrt{6}$ jest podstawą czworościanu. Umiemy policzyć jego pole (np. ze wzoru Herona, ale może być też przez liczenie wysokości z Tw. Pitagorasa), umiemy też policzyć promień okręgu opisanego na tym trójkącie (cos dowolnego kąta z tw. cosinusów, a potem promień z tw. sinusów). Z promienia okręgu opisanego na trójkącie i z długości krawędzi 2 obliczamy wysokość czworościanu (z tw. Pitagorasa). --- Inny sposób. Weźmy przekrój czworościanu przechodzący przez punkt w połowie krawędzi $\sqrt{6}$ i zawierający krawędź leżącą naprzeciw tego punktu. Przekrój ten dzieli nasz czworościan na dwa inne czworościany. Z tw. Pitagorasa łatwo wyliczyć długości krawędzi tych czworościanów. Zauważmy, że krawędzie $\frac{\sqrt{6}}{2}$ można potraktować jak wysokości odpowiednio obróconych czworościanów. Zatem ich objętości oddzielnie są łatwe do policzenia.

aress_poland postów: 66	2015-02-09 20:53:38 Serdecznie dziękuję za pomoc.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj