Wyrażenia algebraiczne, zadanie nr 5283
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| aress_poland postów: 66 |  2015-04-16 20:48:30Wykaż, że jeśli a i b są liczbami rzeczywistymi oraz a+b=1, to spełniona jest nierówność $a^{4}+b^{4}\ge \frac{1}{8}$. Rozwiązałem to zadanie wykorzystując pochodne. Wykazałem, że najmnijsza wartość funkcji $f(a)=a^{4}+(1-a)^{4}=\frac{1}{8}$. Moje pytanie brzmi: W jaki sposób rozwiązać powyższe zadanie nie wykorzystując pochodnych? |
| rockstein postów: 33 | 2015-06-27 18:38:02 Z: a+b=1; T: a^4 + b^4 => 1/8 Dowodzoną nierówność mnożę przez 8, zmienną b zastępuję przez 1-a, wszystkie wyrazy grupuję po lewej stronie: 8*a^4 + 8*(1-a)^4 - 1 => 0 Po wykonaniu potęgowania i redukcji wyrazów podobnych otrzymuję: 16*a^4 - 32*a^3 + 48*a^2 - 32*a + 7 => 0 16*a^2*(a^2-2*a+1) + 32*a*(a-1) + 16 - 9 => 0 16*{a^2*(a-1)^2 + 2*a*(a-1) + 1} - 9 => 0 4^2*{a*(a-1) + 1}^2 - 3^2 =>0, teraz zastosuję wzór na różnicę kwadratów: {4*a*(a-1) + 4 - 3}*{4*a*(a-1) + 4 + 3} => 0 Pierwszy nawias to nieujemne wyrażenie: (2*a - 1)^2, zaś drugi nawas odpowiednio: {(2*a - 1)^2 + 6},zawsze dodatni. Zatem wyrażenie przyjmuje ostatecznie postać: {(2*a - 1)^2}*{(2*a - 1)^2 + 6} => 0 c.b.d.o. Równość zachodzi, gdy pierwszy nawias przyjmuje wartość zero, co ma miejsce dla 2*a - 1 = 0, a zatem a = 1/2 i wówczas odpowiednio b = 1/2. |
| irena postów: 2636 | 2015-06-28 10:12:35 A można tak: Wykorzystując własność, że dla każdej pary liczb a i b zachodzi: $a^2+b^2\ge2ab$ mamy: $(a+b)^2=1$ $a^2+b^2+2ab=1$ czyli $a^2+b^2\ge\frac{1}{2}$ i dalej: $(a^2+b^2)^2\ge\frac{1}{4}$ $a^4+2a^2b^2+b^4\ge\frac{1}{4}$ a ponieważ $a^4+b^4\ge2a^2b^2$ mamy; $a^4+b^4\ge\frac{1}{8}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj